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椭圆及其标准方程
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教学目标:
理解椭圆的定义,掌握椭圆的标准方程的推导和标准方程。
通过椭圆方程的推导培养学生的分析探索能力,掌握解决解析几何问题的方法——坐标法。
重点:
椭圆的定义和椭圆的标准方程。
难点:
椭圆的标准方程的推导,椭圆的定义中加以限制的原因。
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,中国科学院紫金山天文台发布了一条消息,从1997年2月中旬起,海尔·波普彗星将逐渐接近地球,过4月以后,又将渐渐离去,并预测3000年后,,许多人目睹了这一天文现象,天文学家是如何计算出彗星出现的准确时间呢?
原来,海尔·波普彗星运行的轨道是一个椭圆,通过观察它运行中的一些有关数据,可以推算出它的运行轨道的方程,从而算出它运行周期及轨道的的周长。
引入:
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行星运动轨迹
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,把它的两个端点固定在图板上的F1和F2两点,用笔尖拉紧绳,使笔尖在小黑板上慢慢地移动,画出一条曲线。
学生演示
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1、椭圆的定义:
M
平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。
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注意:
(1) 必须在平面内.
(2) |F1 F2|<常数
思考:在同样的绳长下,两定点间距离较长,则所画出的椭圆较——(→线段)在同样的绳长下,两定点间距离较短,则所画出的椭圆较——(→圆)由此可知,椭圆的形状与两定点间距离、绳长有关.
扁
圆
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结论:当绳长等于|F1 F2|时,作出的是一条线段。当绳长小于|F1 F2|时,不能作出任何曲线。
如何求椭圆的轨迹方程?
思考:
求曲线方程的方法步骤是什么?
思考:
当绳长等于|F1 F2|时,笔尖的轨迹是什么?
当绳长小于|F1 F2|时,笔尖的轨迹是什么?
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建系:
建立适当的直角坐标系;
设点:
设M(x,y)是曲线上任意一点;
列式:
建立关于x,y的方程 f(x,y)=0;
化简:
化简方程f(x,y)=0.
检验:
说明曲线上的点都符合
条件(纯粹性);符合
条件的点都在曲线上.
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怎样建立平面直角坐标系呢?
椭圆的焦距为2c(c>0),M与F1、F2的距离的和为2a
2、椭圆的标准方程
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