三角函数知识点总结及同步练习.doc

必修四第一章三角函数

一、任意角和弧度制
1、角的概念的推广
定义:一条射线OA由原来的位置,绕着它的端点O按一定的方向旋转到另一位置OB,就形成了角,记作:角或可以简记成。
注意:(1)“旋转”形成角,突出“旋转”
(2)“顶点”“始边”“终边”“始边”往往合于轴正半轴
(3)“正角”与“负角”——这是由旋转的方向所决定的。
2、角的分类: 由于用“旋转”定义角之后,角的范围大大地扩大了。可以将角分为正角、零角和负角。
正角:按照逆时针方向转定的角。
零角:没有发生任何旋转的角。
负角:按照顺时针方向旋转的角。
3、“象限角”
为了研究方便,我们往往在平面直角坐标系中来讨论角,角的顶点合于坐标原点,角的始边合于轴的正半轴。
角的终边落在第几象限,我们就说这个角是第几象限的角
角的终边落在坐标轴上,则此角不属于任何一个象限,称为轴线角。
4、常用的角的集合表示方法
<1>、终边相同的角:
(1)终边相同的角都可以表示成一个0°到360°的角与个周角的和。
(2)所有与a终边相同的角连同a在内可以构成一个集合

即:任何一个与角a终边相同的角,都可以表示成角a与整数个周角的和
注意:1、
2、是任意角
3、终边相同的角不一定相等,但相等的角的终边一定相同。终边相同的角有无数个,它们相差
360°的整数倍。
4、一般的,终边相同的角的表达形式不唯一。
<2>、终边在坐标轴上的点:
终边在x轴上的角的集合:
终边在y轴上的角的集合:
终边在坐标轴上的角的集合:
<3>、终边共线且反向的角:
终边在y=x轴上的角的集合:
终边在轴上的角的集合:
<4>、终边互相对称的角:
若角与角的终边关于x轴对称,则角与角的关系:
若角与角的终边关于y轴对称,则角与角的关系:
若角与角的终边在一条直线上,则角与角的关系:
角与角的终边互相垂直,则角与角的关系:
二、弧度与弧度制
<1>、弧度与弧度制:
弧度制—另一种度量角的单位制, 它的单位是rad 读作弧度
定义:长度等于的弧所对的圆心角称为1弧度的角。
o
r
C
2rad
1rad
r
l=2r
o
A
A
B


如图:ÐAOB=1rad ,ÐAOC=2rad , 周角=2prad
注意:
1、正角的弧度数是正数,负角的弧度数是负数,零角的弧度数是0
2、角a的弧度数的绝对值(为弧长,为半径)
3、用角度制和弧度制来度量零角,单位不同,但数量相同(都是0)
用角度制和弧度制来度量任一非零角,单位不同,量数也不同。
4、在同一个式子中角度、弧度不可以混用。
<2>、角度制与弧度制的换算
弧度定义:对应弧长等于半径所对应的圆心角大小叫一弧度
角度与弧度的互换关系:∵ 360°= rad 180°= rad
∴ 1°=

注意:正角的弧度数为正数,负角的弧度数为负数,零角的弧度数为零.
三、弧长公式和扇形面积公式
;
任意角的三角函数
一、三角函数定义
如图,设锐角的顶点与原点重合,始边与轴的正半轴重合,,它与原点的距离)。
(1)比值叫做的正弦,记作,即;
(2)比值叫做的余弦,记作,即;
(3)比值叫做的正切,记作,即;
(4)比值叫做的余切,记作,即;
(5)比值叫做的正割,记作,即;
(6)比值叫做的余割,记作,即.
二、三角函数的定义域、值域
①的始边与轴的非负半轴重合,的终边没有表明一定是正角或负角,以及的大小,只表明与
的终边相同的角所在的位置;
②根据相似三角形的知识,对于确定的角,六个比值不以点在的终边上的位置的改变而改变大小;
③当时,的终边在轴上,终边上任意一点的横坐标都等于,所以与无意义;同理,当时,与无意义;
④除以上两种情况外,对于确定的值α,比值、、、、、分别是一个确定的实数,所以正弦、余弦、正切、余切、正割、余割是以角为自变量,一比值为函数值的函数,以上六种函数统称为三角函数。
三角函数的定义域、值域
函数
定义域
值域

由三角函数的定义,以及各象限内点的坐标的符号,我们可以得知:
①正弦值对于第一、二象限为正(),对于第三、四象限为负();
②余弦值对于第一、四象限为正(),对于第二、三象限为负();
③正切值对于第一、三象限为正(同号),对于第二、四象限为负(异号).
说明:若终边落在轴线上,则可用定义求出三角函数值。
为正全正
为正为正
四、诱导公式
1、由三角函数的定义,就可知道:终边相同的角三角函数值相同。
即有:
,
,