5-1定积分的概念和性质.ppt

(定积分)
第五章定积分
第一节定积分的概念和性质
第五章定积分
定积分问题举例
1,曲边梯形面积
第一节定积分概念与性质
设y=f(x)是闭区间[a,b]上
的连续函数,且f(x)≥
直线x=a,x=b和x轴,y=f(x)
曲线构成的图形称为曲
边梯形.
y
y=f(x)
a
A
c
b
x
B
y
y=f(x)
A
x
xi
xi+1
分割,取点,求和,取极限是求面积的主要方法
B
它的面积为
y
y=f(x)
二定积分的定义
定义设函数f(x)在区间[a,b]上有界,在[a,b]内任意
插入(n-1)个分点
将[a,b]分成n个小区间
为各区间的长度,在每一个小区间上取一点
令
令
如果极限存在
y=f(x)
x
a
b
xi
xi-1
ΔAi
其中 f(x) 称为被积函数,
f(x)dx 称为被积表达式,
x称为积分变量.
[a,b] 为积分区间,
b为积分上限,a为积分下限
为黎曼积分和
y
注意: (1)函数在区间上可积,要求区间
.
(2)定义中对小区间的划分和选点是任意的
虽然在划分和选点是任意的,,对于
函数如果可积,则可用特殊的点和特殊的划分使问题简单.
(3)
(4)
和选点无关.
由积分定义,可知
以[a,b]上连续曲线y=f(x)≥0为曲边的曲边梯形的面积
如果(2)中的极限存在,我们称为函数f(x)在区间[a,b]内可积.
下面我们不加证明给出几个定理和推理。
定理1 若函数f(x)在[a,b]上可积,则f(x)在[a,b]上有界
定理2 若函数f(x)在[a,b]上连续,则f(x)在[a,b]上可积
定理3 若函数f(x)在[a,b]上有界,且又有有限个间断点,则f(x)在[a,b]上可积.
推论1 在区间[a,b]上分段连续的函数f(x)在[a,b]可积.
推论2 若函数f(x)在[a,b]上可积,则f(x)在[a,b]上的定积分等于它在(a,b),(a,b],或[a,b)上的定积分.
对于这几种区间上的定积分,我们通常用闭区间[a,b]作为代表来进行研究,并把它们统一作为
(2)当b<a时
此外我们补充规定
(1)当b=a时,