求曲线方程的常用方法.doc

求曲线方程的常用方法
,应根据曲线的不同背景,不同的结构特征,选用不同的思路和方法,.

求曲线方程时,如果动点轨迹满足已知曲线的定义,则可根据题设条件和图形的特点,恰当运用平面几何的知识去寻求其数量关系,再由曲线定义直接写出方程,这种方法叫做定义法.
例1 如图,点A为圆形纸片内不同于圆心C的定点,动点M在圆周上,将纸片折起,使点M与点A重合,,设圆C:(x+1)2+y2=4a2 (a>1),A(1,0),记点N的轨迹为曲线E.
(1)证明曲线E是椭圆,并写出当a=2时该椭圆的标准方程;
(2)设直线l过点C和椭圆E的上顶点B,点A关于直线l的对称点为点Q,若椭圆E的离心率e∈,求点Q的纵坐标的取值范围.
解(1)依题意,直线m为线段AM的垂直平分线,
∴|NA|=|NM|.
∴|NC|+|NA|=|NC|+|NM|=|CM|=2a>2,
∴N的轨迹是以C、A为焦点,长轴长为2a,焦距为2的椭圆.
当a=2时,长轴长为2a=4,焦距为2c=2,
∴b2=a2-c2=3.
∴椭圆的标准方程为+=1.
(2)设椭圆的标准方程为+=1 (a>b>0).
由(1)知:a2-b2=(-1,0),B(0,b),
∴直线l的方程为+=1,即bx-y+b=0.
设Q(x,y),∵点Q与点A(1,0)关于直线l对称,
∴消去x得y=.
∵离心率e∈,∴≤e2≤,
即≤≤.∴≤a2≤4.
∴≤b2+1≤4,即≤b≤,
∵y==≤2,当且仅当b=1时取等号.
又当b=时,y=;当b=时,y=.∴≤y≤2.
∴点Q的纵坐标的取值范围是[,2].

若题设条件有明显的等量关系,或者可运用平面几何的知识推导出等量关系,则可通过“建系、设点、列式、化简、检验”五个步骤直接求出动点的轨迹方程,这种“五步法”可称为直接法.
例2 已知直线l1:2x-3y+2=0,l2:3x-2y+3=(圆心和半径都在变动)与l1,l2都相交,并且l1,l2被截在圆内的两条线段的长度分别是定值26,.
解如图,设M(x,y),圆半径为r,M到l1,l2的距离分别是d1,d2,
则d+132=r2,d+122=r2,
∴d-d=25,
即2-2=25,化简得圆心M的轨迹方程是(x+1)2-y2=65.
点评若动点运动的规律是一些几何量的等量关系,则常用直接法求解,即将这些关系直接转化成含有动点坐标x,y的方程即可.

若已知曲线(轨迹)的形状,求曲线(轨迹)的方程时,可由待定系数法求解.
例3 已知椭圆的对称轴为坐标轴,O为坐标原点,F是一个焦点,A是一个顶点,若椭圆的长轴长是6,且cos∠OFA=,求椭圆的方程.
解椭圆的长轴长为6,cos∠OFA=,
所以点A不是长轴的顶点,是短轴的顶点,
所以|OF|=c,|AF|==
=a=3,=,所以c=2,b2=32-22=5,
故椭圆的方程为+=1或+=1.
(或代入法)
如果点P的运动轨迹或所在的曲线已知,又点P