高等数学(8)数值函数多重积分［PPT课件］.ppt

多元数值函数的积分
、类型与性质




 -概念、类型与性质
-概念抽象-多元函数积分定义


-概念抽象-多元函数积分定义
我们已经知道,一元函数定积分的产生,是与很多现实问题密切相关的。
但是一元函数的定义域仅仅是一维的,而我们的世界却是三维的。并且大量的现实对象也是不对称的。
因此不难想到,在现实世界中,多元函数所应用的范围更广。而类似定积分的方法,在高维情况下肯定有十分广泛的用途。
即便是不知道多元函数积分的概念,仅从一元函数定积分的定义和应用,是否可以想到有什么问题可能会用到多元函数的积分方法呢?
举几个例子。
【例7-1】(求平面薄板的质量问题)设一质量非均匀分布的薄板,将其置于xOy平面上,它所占有的区域为D (图7-1), 在D上任一点P(x,y)处的面密度为
这里且在D上连续.
O
x
y
D
(图7-1)
把区域D任意分划为n个小区域(i=1,2,…,n), ,因此薄板在每个小区域上的质量可以近似的看做均匀分布.
(1)一个引例
在每个上任取一点,则该小区域质量的近似值为
,整个薄板质量m的近似值为
记,→ 0时,每个的面积将趋于零,并且小区域的数目无限增大,,即
(1)
( 或):表示闭集合的一个有限分划。在已
知所分划的闭集合时,就简记为。
则称由这有限个闭集为元素所组成的集合称为闭集
合的一个分划(这里的分化都是有限分划)。
的有限分划:设有有限个闭集,
满足如下条件
;
;
,
分割宽度:设是的一个分划,记
称为分划的宽度(或分割网的网径)。
(4)多元数值函数积分的定义:
设是一个可度量的有界闭集,包含在函数
的定义域中,如果
即,则称函数在上可积,
并称是在上的积分,记作
(2)
注:有这个概念定义,还派生如下一些辅属概念-
被积函数,积分(区)域,积分元素(微元),被积表达式, 积分和,积分号。

下面假设都是在直角坐标系下的表示。根据积分域
的情况分类,有如下四大类:
(2) 是三维坐标空间中的区域V时,积分记为
称为二元函数在区域D上的二重积分, 称为面
积微元。
(1)积分域是xOy坐标平面中的区域D,则
表示分划中小块区域的面积,积分表示为