寻根溯源，以不变应万变.doc

寻根溯源,以不变应万变
——谈“两点之间,线段最短”的应用
任红香张瑞君山东省胶州市第二实验初中 266300
一次考试,我们遇到这样一道题:如图(1)所示:已知正方形ABCD的边长为4,点F在CD上,且DF =1,E是AC上一动点,则DE+EF的最小值是______。乍一看到此题,学生有些懵了,不知从哪儿入手来做,因此得分率极低。试卷分析时,我特意将这一道题作为一个重点来处理。
一、铺垫
如图(2):已知点A和点B分列在直线L的两侧,请做出从点A经过直线L到点B的最短路线,并说出你这样做的根据。此题一出,学生自然就会想到“两点之间,线段最短”这一公理,并顺利做出图形,如图(3)。

接着,我又和学生一起复习了七下(北师大版)123页的问题解决方案:如图(4)所示,要在街道旁修建一个奶站,向居民区A、B提供牛奶,奶站应建在什么地方,才能使A、B到它的距离之和最短?本题点A和点B是定点,点P是直线上一动点,如何确定点P的位置,成了本题的解题关键。有了上一题的铺垫,学生自然能够想到利用轴对称变换找对称点,并用两点之间线段最短的方法来求最短路径,从而确定了点P的位置,如图(5)。

说明:选取这两例,是考虑从最基本的图形入手,让学易于接受、敢于接受挑战,并顺利引出解决此类问题的常用知识点:(1)两点之间,线段最短;(2)若两点在直线的同一侧,则利用轴对称将其中一点转移到直线的另一侧,再利用两点之间,线段最短进行解答。
二、解疑
类比“建奶站”问题,学生一下顿悟,原来可以找到点D关于直线AC
的轴对称点点B,连接BF,交AC于点E,这样就将线段AC同侧的线段DE和EF变换为异侧,既保证了DE=BE,又使BE和EF在变换过程中形成共线情形,从而保持线段长度和不变,即DE+EF=BE+EF=BF,这样,就将求两条线段和转换成求一条线段的长度,至此,学生再根据勾股定理即可求得。
解:如图(6),点B即为点D关于AC的对称点,连接BF,BF的长度即为DE+EF的最短距离。在RT△BCF中,根据勾股定理可求得BF= 32+42=5。

说明:以上几道题,通过生活中的实例,让学生感受到最短路径问题来源于生活,并引出求最短路径的常用方法:(1)只要是求最短路径,就要想办法在题目中利用两点之间线段最短。(2)若两点在直线的同侧,则利用轴对称将直线同侧的线段,转移到直线的异侧,重点强调保持线段长度不变。(3)在变换过程中,着重考虑如何让三点共线,即尽可能将两条线段置于共线情形,从而利用两点之间线段最短,求出最短路径。
三、拓展
如图(7),在边长为6的菱形ABCD中,∠DAB=60°,M为AB中点,N是AC上一动点,求MN+BN的最小值。

分析:本题是以例题变式的方式,在同一模型中植入菱形的背景,旨在让学生在已有的知识经验和例题的基础上进行模仿和探究。本题BN、MN