概率统计模型实验.doc

概率统计模型实验
[学习目标]
能进行男大学生的身高问题中密度函数的计算;
会进行及时接车问题中的模拟概率计算;
能进行路程估计问题中的曲线拟合。
男大学生的身高问题
问题
在某一人群中,具有某种身高的人数会有多少呢?回答该问题的方法之一是利用正态概率密度函数模型。现考虑我国大学生中男性的身高,有关统计资料表明,该群体的平均身高约为170cm,%的人身高在150cm至190cm之间。试问该群体身高的分布情况怎样?比如将[150,190]等分成20个区间,在每一高度区间,给出人数的分布情况。特别地身高中等(165cm至175cm之间)的人占该群体的百分比超过60%吗?
问题分析与建立模型
由于该群体身高的分布可近似看作正态分布,所以,根据已知数据不难确定该分布的均值与标准差分别为μ=170,σ=20/3,故其密度函数为

从而,身高在任一区间[a,b]的人数的百分比可利用积分来计算。
虽然通过变换再查标准正态分布的数值表,可算得上面积分,但是要得到各个身高区间上人数的分布情况,都用这种方法,显然是很繁杂的,而采用计算机却是轻而易举的事。我们通过数值积分的基本方法(矩形法、梯形法)来解决这个问题。
为了后面编程方便,我们只考虑区间[a,a+2],将其m等分,则积分的近似计算公式如下:
矩形法
(左端点)
(右端点)
(中点)
梯形法

计算过程
这里用的是Mathematica,,目的是为了提高运行速度。下面一段程序是计算积分。
In[1]:= f[x_ ]:=*Exp[-*(x-170)^2];
m=10;
Sum[f[150+(2*i-2)/m]*2/m,{i,1,m}]
Sum[f[150 +2*i/m]*2/m,{i,1,m}] (*矩形法*)
Sum[f[150+(2*i-1)/m]*2/m,{i,1,m}]
Sum[(f[150+(2*i-2)/m]+f[150+2*i/m])/m,{i,1,m}] (*梯形法*)
NIntegrate[f[x],{x,150,152}] (*数值积分*)
Out[2]=




注意上面输出的后三个数据,它们已很接近,还可修改m的值(增大),再次观测运行的结果。下面的程序是打印20个高度区间上人数分布的百分比表。
Print[″身高矩形法梯形法数值积分命令″]
Print[″(百分比%)″]
f[x_]:=*Exp[-*(x-170)^2];
For[n=150,n<190,n+=2,m=10; (*注意这里的m值,可取m=20再打印一张*)
ju=100*Sum[f[n+(2*i-1)/m]*2/m,{i,1,m}];
ti=100*Sum[(f[n+(2*i-2)/m]+ f[n+2*i/m])/m,{i,1,m}];
s=100*NIntegrate[f[x],{x,n,n+2}];
Print[″[″,n,″,″,n+2,″)″,ju,″″,