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中学教学论文:
中学教学减元策略
这里所谓的减元不仅是指减少变元的个数,而且还包括降低变元的次数以及减少变元出现的频率等,由于减元策略的应用融汇于多种数学方法与数学知识之中,掌握了它,就能较大地提高解决数学问题的能力。
1、巧设减元
在应用待定系数法解题时,有的问题根据题目的特点,可以使待定的系数尽量减少,例如三个数成等差一般可设为:、、,四个数成等差可设为:、、、,同样三个或四个数成等比则可设为:、、和、、、,这样就把原本是三个或四个变元的问题变成仅有两上变元了。再如求椭圆或双曲线的标准方程时,若已知离心率,则方程可设成仅含或之一的形式,这样就把含有两个未知量的问题转化成仅有一个变量的问题。
2、消元减元
解方程时,一般是通过代入消元法或加减消元法使变元逐渐减少,直至化成一元一次或一元二次方程。对于有些数列中在与并存的情况下,往往可以用减元,将表达式转化为仅含(或)的递推关系。而数列求和中的消项法,就是通过裂项,消掉中间的一些变元后化简或求值的。
例如:设数列的前项和为,已知+=,(1)求数列的通项公式。(2)求。
(1)首先利用,将含、、的关系式减元转化为的形式。再通过构造得出新等比数列,从而可求出。
(2)从原式直接求和很难计算,若将通项拆开成为的形式,就可以消项减元将其化为。
3、分离变量减元
在一个表达式中有两个变量,有时可以通过其中一个的变化来确定另一个变化范围,这就需要将两个变量分离开。
例如:已知是实数,函数,若在区间[-1,1]上有零点,求实数的取值范围。
此题条件清晰,学生易想到讨论零点个数求解,但过程繁琐,不易求解。若将其转化为将其分离参量变形为
,求函数的值域则容易解答,避免较复杂的讨论。
分离变量减元的方法尤其在有些含两个未知量恒成立的题目中常使用。
例如:对,不等式恒成立,求实数m的取值范围。
本题若化为,则需以是否在[-1,1]内分类讨论。若换一个角度,将变量m和分离开,即将原式化为
=
只要求出的最大值,m大于此最大值即可。
4、换元引参减元
换元法在解决数学问题中倍受青睐的重要原因就是具有减元的功能。
例如:点P是椭圆上动点,求的最大值。
设,,就从两个变元和减为一个变元,再令,将和换成一个变元t的形式。通过配方再将t出现的频率由两次减为一次,即,,由二次函数在闭区间上最值的求法可顺利得出的最大值。
5、整体代换减元
整体求解有时运用设而不求的方法,能使看似无法解决的问题迎刃而解。
在解析几何中,与弦的中点与及斜率有关的轨迹问题可以利用点差法设而不求。
例如:求椭圆的斜率为的弦的中点的轨迹方程。
设弦所在直线的斜截式方程,与椭圆方程联立得关于的二次方程,由韦达定理求解,此法虽属常规但计算量较大,若设某弦端点A、B,其中点为P,利用点差法得,则,整理后就得所求中点的轨迹方程,但要注意自变量的取值范围。
再比如:已知长方体的全面积为11,其12条棱的长度之和为24,求此长方体的对角线的长。
设长方体的长、宽、高分别为、、,由题设得,4,设对角线长为l,则,如何使这三个关系联系起来是求解的关键,其纽带就是
=,有了此式就可通过整体代换求解两个方程三个未知元的问题,得出对角线长是5。
可见运用整体代换