第25计函数开门以静显动
●计名释义
,,没有参照物的运动是没有意义的,同样没有“静数”(动数)的个数较多时,我们先考虑一对互动中的变数,而把其他变数暂视静止(常数或参数),例如,考虑二次函数y=ax2+bx+c时,是把x,y看作一对互动的变数,而把a,b,c看作“静数”.其实,a,b,c也在变化,只是要等到需要考虑它们的变化时再把它们视作变数.●典例示范
【例1】设双曲线与直线x+y=1相交于两个不同的点A和B,求双曲线离心率的取值范围.
【分析】,我们要寻求e的函数式.
【解答】按双曲线离心率的关系式,有
【插语】公式e=本来是“静式”,现在让其运动起来,成了函数式f (a).启发我们求函数e=f (a)的定义域,即a的取值范围.
【续解】由双曲线与直线相交于两点,得方程组
【插语】我们并非要从这个方程中解得x和y的值,而是要由“方程组有2个解”的条件求出a2的取值范围.
【续解】消y后整理得
函数e=f (a)=在(0,1)和(1,)上都是减函数,故有f (a)>且f (a)≠.即所求范围是.
【点评】函数解题,动静相依,动静互控,从而实现由简单函数与复合函数的互动,以及函数与方程,函数与不等式的互动.
【附录】以下我们用函数性质讨论a2的取值范围.
由方程组解得:a2=h(x)=.由于≠0,所以a2≠,所以a2≤2.
由于相交的两点A、B对应着不同的x值,因此a2到x的对应是1对2,因此在h (x)中x2,由此得到a2≠2. 故有a2<2.
【例2】解方程(x+6)2003+x2003+2x+6=0.
【解答】将原方程变形得(x+6)2003+(x+6)=(-x)2003+(-x).
由方程的特点,我们构造函数f x)=x2003+x,知f (x)是x∈R上的单调递增函数,又f (x+6)= f (-x),故x+6=-x,即x=-3.
【点评】此题从方程的特点入手,利用函数思想,构造了函数f (x)=x2003+x,把解方程的问题变为讨论函数的性质的问题,巧妙地求出了方程的解.
【例3】在xOy平面上给定一曲线y2-2x=0.
(Ⅰ)设点A的坐标为(,0),曲线上距点A最近的点P的坐标及相应的距离|PA|.
(Ⅱ)设点A的坐标为(a,0),a∈R,曲线上点到点A的距离的最小值.
【解答】(Ⅰ)设P(x,y)为曲线上任意一点,y2=2x(x≥0),
|PA|2=,
∴当x=0时,|PA|取得最小值.
(Ⅱ)设P(x,y)为曲线上任意一点,同理有|PA|2=(x-a)2+y2=[x-(a-1)]2+(2a-1)(x≥0),
①当a≥1时,在x=a-1≥0处,|PA|取得最小值.
②当a<0时,在x=0处,|PA|取得最小值
【点评】解题方向是建立目标函数,然后转化为以a为自变量的二次函数在闭区间上的最值问题.
【例4】某工厂有旧墙一面长14米,现准备利用这面旧墙建造平面图形为矩形,面积为126平方米的厂房,工程条件:①建1米新墙的费用为a元;②修1米旧墙的费用是元;③拆去1米旧墙,:
(1)利用旧墙的一段x米(x<14)为矩形厂房一面的边长;
(2)矩形厂房利用旧墙的一面边长为x≥,即x为多少米时,建墙费用最省?(1)、(2)两种方案哪个更好?
【分析】,再通过讨论函数的最小值来解决问题.
【解答】设利用旧墙的一面边长为x米,则矩形的另一面边长为米.
(1)利用旧墙的一段x米(x<14)为矩形一面边长,则修旧墙的费用为元,将剩余的旧墙拆得的材料建新墙的费用为元,其余建新墙的费用为:元,
故总费用为:
y=
得: 所以,
当且仅当即x=12∈(0,14)米时,ymin=35a
(2)若利用旧墙一面矩形边长x≥14,则修旧墙的费用为元,建新墙的费用为元,故总费用为:
即
∵但由于x=时,x=<14,x[14,+∞),因此均值不等式此处失灵.
以下用求导法解决问题:
∵y′=2a(1-).∴x>时,y′>0,而14>.
故x∈[14,+∞)时函数y单调增.
∴x=14时,ymin=
综上所述,采用方案(1),利用旧墙12米为矩形的一面边长时,建墙的总费用最省,费用为35a元.
【点评】“玄机”
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