课件 计算机图形学 贝塞尔曲线及B样条.ppt

贝塞尔曲线:
问题的提出:
1 抛物样条曲线和三次参数样条曲线的共同特点:
生成的曲线通过所有的型值点,即所谓的“点点通过”。
2 缺点:
抛物样条曲线和三次参数样条曲线在外形设计中缺少直观性
和灵活性,
例如: 为了调整一小段曲线的形状而改变一个点时,
曲线可能出现小鼓包或小凹坑等现象,直接影响曲线
的平滑。
这时必须改变一批型值点,观察效果后继续调整,
直到满意为止。这种做法显然不直观也不灵活。
二问题的解决:
1 一种新的参数表示法—贝塞尔曲线的提出:

1962年法国雷诺汽车公司的贝塞尔提出了贝塞尔曲线(Bezier)
并以这种方法为主,完成了一种曲线和曲面的设计系统
UNISURF,并于1972年在雷诺公司应用。
2 贝塞尔曲线的基本思想:
(1)将函数逼近与几何表示结合起来,使得设计师
可以直观地通过改变参数来改变曲线的形状和阶次。
(2)通过控制点即顶点直观而方便地调整曲线的形状,
(3)仅通过起始点和终止点,而不通过其它的型值点。
三贝塞尔曲线举例
曲线仅通过起始点和终止点,而不通过其它的型值点。
四贝塞尔曲线的性质:
1 该曲线由一组多边形折线的多个顶点唯一地定义出来。
多边形折线又称特征多边形,顶点又称为控制点。
2 在多边折线的各个顶点中,只有第1点和最后1点在曲线上。
顶点用于定义曲线的阶次和形状,
如n+1个顶点定义n次多项式。
下图中4个顶点定义一个唯一的三次贝塞尔曲线。
3 曲线的形状趋向于多边形折线的形状,若改变顶点则改变
曲线形状,因此它被用于外形设计。
4 特征多边形的第一条边和最后一条边表示出起点和终点的
切线方向。
  贝塞尔曲线的例子:
顶点
起始点
终止点
多边形折线
(特征多边形)
贝塞尔曲线
五贝塞尔曲线的数学表达式:
Bezier曲线的数学基础:在第1个和最后一个端点之间进行
插值的多项式混合函数(调和函数)
它可以参用数方程表示如下:
这是一个n次多项式,具有n+1项。
:表示特征多边形n+1个顶点的位置向量。
Bi,n(t) :伯恩斯坦多项式,称为基底函数,
即曲线上各个点位置矢量的调和函数,它表示为:
其中i表示第i个顶点,n表示n次,t为参数。
bezier曲线特性分析:
由伯恩斯坦多项bernstein基函数的性质能推导出贝塞尔曲线性质。
(一) 曲线通过起始点与终止点
可以证明起点和终点在曲线上,
规定:


另: 0!为1。
展开曲线为:(当n =0, 1, 2, 3时)
当t=0(参数的起点), i=0(第1个顶点0)时,曲线:

(∵ti =00=1, ∴第1项为P0,∵0i=0,∴其余3项为0)

当t=1(参数的终点),i=n(最后一个顶点)时,曲线:
可见,曲线经过多边折线的始点和终点。
(二)起始点与终止点切矢量的方向
通过对基函数求导,可以证明起始点与终止点的
切矢量与第1和第n(最后)条边一致(走向一致)。

基函数的导数:
贝塞尔曲线的导数
因为:在中,除第一项和最后一项以外的各项均为0
所以:在起始点
在终止点

可见
起始点处的切矢量P’(0)与特征多边形的第1条边(P1-P0)相一致。
终止点处的切矢量P’(1)与特征多边形的第n-1条边(Pn-Pn-1)相一致。
P0
P1
P2
P3
P4