2010年高考导数解题策略1.doc

2010年高考导数、函数专题策略分析(一)
厦门双十中学高中部郭俊芳
近六年福建省高考对导数、函数考查类型统计
2005福建
19
以一次函数除以二次函数为背景,考查导数在求曲线切线斜率、判断单调性的应用
2006福建
19
21
19题以应用题建模后是二次函数与反比例函数的和为背景,考查导数在求函数最值的应用;
21题以lnx与二次函数两个函数为背景,考查导数在研究函数图象的作用,实质是最值的应用
2007福建
22(压轴)
以与一次函数的差为背景,考查导数在求函数单调性、最值的应用
2008福建
19
22(压轴)
19题以三次函数为背景,考查导数在求函数极值的应用。
22题以ln(1+x)与一次函数的差为背景,考查导数在判断单调性的应用
2009福建
20(压轴)
20题以三次函数为背景,考查导数在求函数单调性、极值、图像的应用,导数在求曲线切线斜率的应用。
2010福建
20(压轴)
以三次函数为背景,考查导数在求函数单调性、求曲线的切线斜率、与定积分交汇命题求面积的应用。
典型高考题案例分析
类型一、三次函数背景的考查
例1. 2005山东(19)(本小题满分12分)已知是函数的一个极值点,其中,
(I)求与的关系式;(II)求的单调区间;(Ⅲ)当时,函数图象上任意一点切线的斜率都大于3m,求实数m的取值范围。
解:(I)因为是函数的一个极值点,所以,即,所以
(II)由(I)知,=
当时,有,当变化时,与的变化如下表:
1
0
0
调调递减
极小值
单调递增
极大值
单调递减
故当时,在单调递减,在单调递增,在上单调递减.
(III)由已知得,即
又所以即①
设,其函数开口向上,由题意知①式恒成立,
所以
即的取值范围为.
例2.(2009全国Ⅰ22题,压轴题,满分12分)
设函数在两个极值点,且
(I)求满足的约束条件,并在下面的坐标平面内,画出满足这些条件的点的区域;(II)证明:
预备知识:(1)二次函数根的分布;(2)线性规划作可行域的求解;(3)参数的消元分类讨论能力;(4)对多参数的主元和参数的识别能力。
解析:(1)由题意知方程有两个根
由知是极大值点,是极小值点。
则有
故有
右图中阴影部分即是满足这些条件的点
的区域。
(II)
=0,,
则.
令又
所以恒成立,在单调递减,
即
又。
变形1:求函数的取值范围。
,
恒成立,在单调递减,
即
又。
变形2:设函数在两个极值点,且
且函数y=f(x)与y=k有三个交点,求实数k的取值范围。
显然时,函数y=f(x)与y=k有三个交点,
又,,。
例3.(2007年全国Ⅱ押轴题)已知函数.
(1)求曲线y=f(x)在点处的切线方程;
(2)设,如果过点(a,b)可作曲线y=f(x)的三条切线,证明:.
背景函数是不含参数的三次函数。
解析:(1).
曲线在点处的切线方程为:,
即 .
(2)如果有一条切线过点,由(1)的结论知则存在,使.
于是,若过点可作曲线的三条切线,则方程
有三个相异的实数根.
记 ,则.
0
0
0
极大值
极小值
由的单调性,当极大值或极小值时,方程最多有一个实数根;
当时,解方程得,即方程只有两个相异的实数根;
当时,解方程得,即方程只有两个相异的实数根.
综上,如果过可作曲线三条切线,即有三个相异的实数根,则即 .
评析:有三条切线转化为方程有三解,进而转化为研究函数图像与x轴的交点有三个。
,则方程g(t)=0有三解。
变化情况如下表:
由的单调性,当极大值或极小值时,方程最多有一个实数根,此时有一条切线;
当时,解方程得,方程只有两个相异的实数根,此时有两条切线;当
时,解方程得,此时有两条切线
。
利用《几何画板》作出点P在不同的位置运动时,所作的切线有1条,2条,3条不同的可能。右图是有三条切线的片段。
例4.(2009福建理科)20、(本小题满分14分)
已知函数,且.
(1) 试用含的代数式表示b,并求的单调区间;
(2)令,设函数在处取得极值,记点M (,),N(,),P(), ,请仔细观察曲线在点P处的切线与线段MP的位置变化趋势,并解释以下问题:
(I)若对任意的m (, x),线段MP与曲线f(x)均有异于M,P的公共点,试确定t的最小值,并证明你的结论;
(II)若存在点Q(n ,f(n)), x1 n< m,使得线段PQ与曲线f(x)有异于P、Q的公共点,请直接写出m的取值范围(不必给出求解过程).
背景函数是含两个参数的三次函数,其导数