数学归纳法在物理解题中的应用.doc

数学归纳法在物理解题中的应用
贵州省黔西第一中学陈丽珊陈海
在近年高考题中高频率的出现多过程问题,这类问题很多情况下可以用数学归纳法来解决,比如说一个关于自然数n的命题,由n=1命题成立,可推知n=2命题成立,继而又可推出n=3命题成立……这样就形成了一个无穷的递推,从而命题对于n>=1的自然数都成立,下面略举几例说明这一方法的应用,供同行参考。
 
例1(2010年北京高考)雨滴在穿过云层的过程中,不断与漂浮在云层中的小水珠相遇并结合为一体,其质量逐渐增大。现将上述过程简化为沿竖直方向的一系列碰撞。已知雨滴的;初始质量为,初速度为,下降距离后于静止的小水珠碰撞且合并,质量变为。此后每经过同样的距离后,雨滴均与静止的小水珠碰撞且合并,质量依次为、............(设各质量为已知量)。不计空气阻力。若考虑重力的影响,
 
求(1)第1次碰撞前、后雨滴的速度和;
 
(2)求第n次碰撞后雨滴的动能。
 
解析:(1)若考虑重力的影响,雨滴下降过程中做加速度为g的匀加速运动,碰撞瞬间动量守恒
 
第1次碰撞前   
 
第1次碰撞后  ,       
 
(2)第2次碰撞
 

 
第2次碰撞后,利用(2)式得
 
                           
 
同理,第3次碰撞后   ,…………
 
第n次碰撞后速度为   
 
故第n次碰撞后雨滴的动能为  
 
例2(2007年全国高考)如图所示,质量为m的由绝缘材料制成的球与质量为M=19m的金属球并排悬挂。现将绝缘球拉至与竖直方向成θ=600的位置自由释放,下摆后在最低点与金属球发生弹性碰撞。在平衡位置附近存在垂直于纸面的磁场。已知由于磁场的阻尼作用,金属球将于再次碰撞前停在最低点处。求经过几次碰撞后绝缘球偏离竖直方向的最大角度将小于45
0。
 
 
解析:由题意知每次碰撞都发生在最低点,且为弹性正碰设小球m的摆线长度为L,向左为速度的正方向,第一次碰撞前后绝缘小球的速度分别、,金属球的速度为
 
由动量守恒得:
 
由机械能守恒得:
 
且,解得,
 
第二次碰撞前后有,由动量守恒得:
 

 
由机械能守恒得:
 

 
联立上式解得,
 
同理可得第三次碰撞前后有,
 

 

 
解得,
 
由此可知…………
 
第n次碰撞后,绝缘小球的速度为,金属球的速度
 
设第一次碰前绝缘球的动能为,其中
 
第n次碰后绝缘球的动能为,
 
其中,则得,因为,
 
所以2<n<3,则经过3次碰撞后绝缘小球竖直方向的夹角小于45°
 
例3(2009年北京高考)
 
(1)如图1所示,ABC为一固定在竖直平面内的光滑轨道,BC段水平,AB段与BC段平滑连接。质量为的小球从高位处由静止开始沿轨道下滑,与静止在轨道BC段上质量为的小球发生碰撞,碰撞后两球两球的运动方向处于同一水平线上,且在碰撞过程中无机械能损失。求碰撞后小球的速度大小;
 
 
解析:(1)设碰撞前的速度为,根据机械能守恒定律