黄景炽-医科数学第二章.ppt

第二章一元函数微分学——变量变化速度与局部改变量估值问题
主要内容
一、导数的定义
二、导数的计算
三、微分的定义
四、导数的应用
抽象导数概念的两个现实原型
原型Ⅰ求变速直线运动的瞬时速度.
匀速运动:
设在[0,T]上连续,求.
M
M
P
M
s
△s
O
瞬时速度;
变速运动:
瞬时速度.
一、导数的定义
⑴步骤
M
M0
P
M1
s
△s
O
①求增量给一个增量,时间从变到了,
②求增量比
③取极限
⑵数学思想方法——化归思想
瞬时速度平均速度
化归
(第一步为第二步做准备)
原型Ⅱ求曲线切线的斜率.
和是曲线
上两点它们的连线是
该曲线的一条割线,当点M沿曲线无限接近于点M0时,割线绕点 M0转动,其极限位置M0 T就是曲线在点M0处的切线(),求曲线在点M0处切线的斜率.
O
X
Y
Δx
M0
M
Δy
y0
x0
x0+Δx
T
α
β
()
若的图象是直线,则;
若的图象是曲线,则.
⑴步骤
①求增量给一个增量,自变量由变到,则
②求增量比
③取极限
其中是切线与轴的夹角
⑵数学思想方法——化归思想
瞬时速度平均速度
化归
(第一步为第二步做准备)
总结:上面两个现实原型的范畴虽不相同,但从纯数学的角度来考察,所要解决的问题相同:求一个变量相对于另一个相关变量的变化快慢程度,即变化率问题;处理问题的思想方法相同;矛盾转化的辨证方法;数学结构相同:函数改变量与自变量改变之比,当自变量改变量趋于零时的极限.

由这两个具体问题便可抽象出导数的概念
导数概念
定义1 设函数在点的某一邻域内有定义,当自变量在处有增量(点仍在该邻域内)时,相应地函数有增量,如果与之比,当时的极限存在,则称这个极限值为在点处的导数,记作,即
也可记作, 或.
——平均变化率
——瞬时变化率
可见导数是平均变化率的极限.