5年级数学-数论综合.doc

5年级数学-数论综合.doc数论综合
一、例题
加工某种机器零件,要经过三道工序,第一道工序每名工人每小时可完成个零件,第二道工序每名工人每小时可完成个零件,,三道工序最少共需要多少名工人?
【分析】为了使生产均衡,则每道工序每小时生产的零件个数应相等,设第一、二、三道工序上分别有、、个工人,有,那么的最小值为,,的最小公倍数,即。所以,,,则三道工序最少共需要名工人.
甲、乙两数的最小公倍数是,乙、丙两数的最小公倍数是,甲、丙两数的最小公倍数是,那么甲数是多少?
【分析】对分解质因数:。
因为,所以,即甲中不含因数,于是乙必含因数。
因为,所以,即乙中不含因数,于是甲必含。
因为,所以,即乙最多含有一个因数,甲必含。
综上所述,甲为的倍数,所以只能是。
注:两个数的最小公倍数含有两数的所有质因子,,,则、的最小公倍数含有质因子,,,,,并且它们的个数为、,个,个,个,个,即。
枚举法(也称为穷举法)是把讨论的对象分成若干种情况(分类),然后对各种情况逐一讨论,最终解决整个问题。运用枚举法有时要进行恰当的分类,分类的原则是不重不漏。正确的分类有助于暴露问题的本质,降低问题的难度。数论中最常用的分类方法有按模的余数分类,按奇偶性分类及按数值的大小分类等。
求这样的三位数,它除以所得的余数等于它的三个数字的平方和。
【分析】三位数只有个,可用枚举法解决,枚举时可先估计有关量的范围,以缩小讨论范围,减少计算量。设这个三位数的百位、十位、个位的数字分别为,,。由于任何数除以11所得余数都不大于,所以。
从而,,。所求三位数必在以下数中:
不难验证只有,两个数符合要求。
写出个都是合数的连续自然数。
【分析】(法一)在寻找质数的过程中,我们可以看出以内最多可以写出个连续的合数:,,,,,,。我们把筛选法继续运用下去,把考查的范围扩大一些就行了。用筛选法可以求得在
与之间共有个都是合数的连续自然数:,,,,,,,,,,,,。
(法二)如果设这个数分别是,,,,,如果能被到中任意一个数整除,那么,,,,,能分别被、、,,整除,所以,只要取即可得到符合条件的个数。
(法三)上面的方法虽然巧妙,但是计算非常困难,所以应该选取折中的方法,设这个数分别是,,,,,。所以只要使能被到的所有整数整除,并且保证和都是合数即可,通过试验可得到即是符合条件的值。
如图,有三张卡片,在它们上面分别写着,,。从中抽出一张、两张、三张,按任意次序排起来,可以得到不同的一位数、两位数、三位数。请将其中的素数都写出来。(素数即质数)
因为这三个数字的和为,能被整除,所以用这三个数字任意排成的三位数都能被整除,所以不可能是素数。再看两张卡片的情形。因为,根据同样的道理,用,组成的两位数也能被整除,因此也不是素数。这样剩下要讨论的两位数只有,,,这四个了。其中,,都是素数。最后一位数素数只有,。
【拓展】、和都是两位数,、的个位分别是和,的十位是,如果它们满足等式,则。
【分析】既然和的个位分别是与,的个位是,可知的个位一定是,而且。已知的十位是,所以.,既然、的个位分别是与,可知,,所以。
对于某些研究整数本身的特