高等数学也被称为微积分,所以从总体上来说可以分为两大部分:微分学和积分学。不定积分和求导数是互为逆运算的,所以不定积分可以称为是微分学的延续,也可以作为从微分学到积分学的一个过渡章节。所以对于积分学而言,定积分可以说是它的开端,中公考研数学老师提醒考生:考试对于积分学的所有考查都是以定积分为基础去考查大家,所以定积分的相关概念和计算大家一定要掌握。
考试对于定积分的考查,分为三大部分:定义,性质、计算以及应用。今天主要分析讨论定积分的计算。既然不定积分是微分学和积分学的过渡章节,也就是说微分和积分之间是存在某种关系的,我们只要找到了这种关系,就可以利用微分学来理解积分学,利用微分来计算积分。微分和积分的关系被称为微积分基本定理,也叫牛顿—莱布尼茨公式:
通过牛顿—莱布尼茨公式我们可以发现,它为大家计算定积分提供了一种计算定积分的方法,也就是对于定积分而言大家只需要找到被积函数在区间上的一个原函数,在将积分上下限代入后做减法即可。所以不定积分可以说是大家计算定积分的基础,所有定积分计算最终都可以归到不定积分的计算上—找原函数,由此计算定积分的方法与计算不定积分的方法是完全类似的。计算定积分的方法有:
1、换元法:
我们发现这个方法与计算不定积分的第二类换元法是相对应的,但是也有其需要大家注意的内容:
1)定积分计算作变量代换后的上下限与原来的积分上下限是对应关系,也就是说换元必换限,这是大家在做定积分的时候需要着重注意的一个问题;
2)不定积分的结果是一个集合,故做完变量代换后需要再回代,而定积分本质是一个数,做变量代换后不必回代。
2、分部积分法:
定积分中的分部积分法与不定积分中的分部积分法是完全类似的,大家主要弄清楚两个问题即可:
1)什么时候用分部积分法:被积函数是两个函数相乘且这两个函数
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