D4-4函数的单调性与极值.ppt

第四节
一、函数单调性
二、函数的极值
函数的单调性与极值
第四章
三、函数的最大值和最小值
一、函数单调性
在(a, b)内可导.
定理 1. 设函数
则 f (x) 在[a, b]上单调递增;
证: 无妨设
任取
在[x1, x2]上用拉格朗日中值定理得
故
这说明 f (x) 在[a,b] 内单调递增.
在[a, b]上连续,
证毕
(1) 若在(a, b)内,
则 f (x) 在[a, b]上单调递减.
(2) 若在(a, b)内,
例1. 确定函数
的单调区间.
解:
令
得
故
的单调增区间为
的单调减区间为
说明:
例如,
2) 如果函数在导数为零点的两边导数同号, 则不改变函数的单调性.
例如,
1)单调区间的分界点也可是导数不存在的点.
证: 令
从而
且
即
例2. 证明
令
则
定义:
则称为的极大值点,
称为函数的极大值;
极大值点与极小值点统称为极值点.
二、函数的极值
极大值与极小值统称为极值.
则称为的极小值点,
称为函数的极小值;
例如,
为极大值点,
是极大值
为极小值点,
是极小值
为极大值点,
为极小值点,
不是极值点
2) 对常见函数, 极值可能出现在导数为 0 或
不存在的点.
1) 函数的极值是函数的局部性质.
注意:
定理2 (极值存在的必要条件)
设函数f (x)在点 x0处可导
且在 x0处取得极值则
证
不妨设f (x0)是极大值(极小值的情形的证明类似).
根据极大值的定义
对x0的某个邻域内的任何异于
x0的点x 
有 f (x) < f (x0),
于是当x<x0时,
由极限的保号性得
类似可证
由于函数f (x)在x0处可导,故
且在去心邻域
内有导数,
(1)
“左正右负”,
(2)
“左负右正”,
x1
x2
(3) 如果在x0的左右两侧
不变号
定理 1 (极值第一判别法)