用构造局部不等式法证明不等式
有些不等式的证明,若从整体上考虑难以下手,可构造若干个结构完全相同的局部不等式,逐一证明后,再利用同向不等式相加的性质,即可得证。
例1. 若,,求证:
分析:由a,b在已知条件中的对称性可知,只有当,即时,等号才能成立,所以可构造局部不等式。
证明:
同理,
∴
例2. 设是n个正数,求证:
。
证明:题中这些正数的对称性,只有当时,等号才成立,构造局部不等式如下:
。
将上述n个同向不等式相加,并整理得:
。
例3. 已知均为正数,且,求证:
。
证明:因均为正数,故,
。
又∵,
∴把以上各个同向不等式相加,整理得:
故。
例4. 设,且,求证:。
(第36届IMO)
证明:由a,b,c在条件中的对称性知,只有当时,才有可能达到最小值,此时刚好。所以,可构造如下局部不等式。
∵,
,
,
例5. 设,且,求证:。
证明:由a,b,c在条件中的对称性知,只有当时,才可能达到最小值
1,此时刚好。所以,可构造如下局部不等式。
∵
∴
即
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