关于集合可数的若干证明方法.doc

毕业论文
题目关于集合可数的若干证明方法

学生姓名学号
所在院(系) 数学系
专业班级数学与应用数学专业2003级4班
指导教师
2007年 5月 22日
关于集合可数的若干证明方法
(陕西理工学院数学系数学与应用数学专业2)
指导教师:
[摘要] 本文主要介绍了有关集合可数的五种证明方法,这些方法是:;;;;,本文对有关集合可数的证明做了一个比较全面的介绍.
[关键词] 可数集;1-1映射;无穷序列
1 引言
集合是整个数学理论的基础,可数集是实变函数中的一个最基本的概念,,虽然可数集合数目众多,种类繁杂,,从中搜集了大量的习题,通过认真演算,其中少数难度较大的题目之证明来自相应的参考文献,,所以,本文会以大量的例题进行讲解说明.
2 预备知识
[1] 设是两个集合,如果存在二者元素之间的一个对应关系,使中任意元素,通过都恰与中某一个元素对应,而中任意的元素也一定是中某一通过在中的对应元素,.
[2] .
[3](Cantor—Bernstein) 若,则.
[4] 任何无穷集合必有可数子集.
基于以上两个定理,我们给出集合可数的如下两个充分条件.
设为任意无穷集,为一可数集,且存在满射,则可数.
证明由已知必存在集合,使得在上的限制是一个双射,即存在集合,使得为一个双射,,必有可数子集,即存在,且,,又,故即可数.
设为任意无穷集,为一可数集,且存在单射,则可数.
证明由已知,而显然为一双射,,即存在,使得,,即可数.
[5] 若都是可数集合,则是可数的.
,即
[1] 若对于每一个是可数集合,则是可数集合.
.
[6] 如果的每一个都是可数集合,则也是可数集合.
3 关于集合可数的一些证明方法
以下文中例题选自参考文献[7,8,9,10].
依据定义构造无穷序列证明集合可数
依据上面的定义无穷集合可数与可列等价,那么要证明一个无穷集合可数只要找到其元素的一个无穷序列便可.
全体有理数构成的集合可数.
证明由于任意有理数都可以用分数表示, 我们构造集合集合序列如下,
,
则这些所有集合的全体元素可做排列,其排列规则为排第一位,当时,排在第位,, 将上述排列中的重复元素只取其一