[最新中考语文]2012河南.doc

[最新中考语文]2012河南.doc奥林匹克数学竞赛第02讲角平分线的性质与判定
考点·方法·破译
:角平分线上的点到角两边的距离相等.
:角的内角到角两边距离相等的点在这个角的平分线上.
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经典·考题·赏析
【例1】如图,已知OD平分∠AOB,在OA、OB边上截取OA=OB,PM⊥BD,PN⊥:PM=PN
【解法指导】由于PM⊥BD,PN⊥=PN只需∠3=∠4,证∠3=∠4,只需∠3和∠4所在的△OBD与△OAD全等即可.
证明:∵OD平分∠AOB ∴∠1=∠2
在△OBD与△OAD中, ∴△OBD≌△OAD
∴∠3=∠4 ∵PM⊥BD,PN⊥AD 所以PM=PN
【变式题组】
,CP、BP分别平分△ABC的外角∠BCM、∠:点P在∠BAC的平分线上.
,BD平分∠ABC,AB=BC,点P是BD延长线上的一点,PM⊥AD,PN⊥:PM=PN
【例2】(天津竞赛题)如图,已知四边形ABCD中,AC平分∠BAD,CE⊥AB于点E,且AE=(AB+AD),如果∠D=120°,求∠B的度数
【解法指导】由已知∠1=∠2,CE⊥AB,联想到可作CF⊥AD于F,得CE=CF,AF=AE,又由AE=(AB+AD)得DF=EB,于是可证△CFD≌△CEB,则∠B=∠CDF=60°.或者在AE上截取AM=AD从而构造全等三角形.
解:过点C作CF⊥AD于点F.∵AC平分∠BAD,CE⊥AB,点C是AC上一点,
∴CE=CF
在Rt△CFA和Rt△CEA中, ∴Rt△ACF≌Rt△ACE ∴AF=AE
又∵AE=(AE+BE+AF-DF),2AE=AE+AF+BE-DF,∴BE=DF
∵CF⊥AD,CE⊥AB,∴∠F=∠CEB=90°
在△CEB和△CFD中,,∴△CEB≌△CFD
∴∠B=∠CDF 又∵∠ADC=120°,∴∠CDF=60°,即∠B=60°.
【变式题组】
,在△ABC中,CD平分∠ACB,AC=5,BC=

02.(河北竞赛)在四边形ABCD中,已知AB=a,AD==DC,对角线AC平分∠BAD,问a与b的大小符合什么条件时,有∠B+∠D=180°,请画图并证明你的结论.

【例3】如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,BE平分∠ABC,CE⊥:CE=BD
【解法指导】由于BE平分∠ABC,因而可以考虑过点D作BC的垂线或延长CE从而构造全等三角形.
证明:延长CE交BA的延长线于F,∵∠1=∠2,BE=BE,∠BEF=∠BEC
∴△BEF≌△BEC(ASA) ∴CE=EF,∴CE=CF ∵∠1+∠F=∠3+∠F=90°,
∴∠1=∠3
在△ABD和△ACF中,,∴△ABD≌△ACF
∴BD=CF ∴CE=BD
【变式题组】
,已知AC∥BD,EA、EB分别平分∠CAB、∠DBA,CD过点E,求证:AB=AC+BD.


,在△ABC中,∠B=60°,AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线,AD、CE相交于点F.
⑴请你判断FE和FD之间的数