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数列的求和方法
数列求和是对数列知识的精彩演绎,他几乎涵盖了数列的所有思想方法、技巧,对学生的知识和思维都有极高的训练价值。数列求和的关键是“转化”,转化方式有两种:一,转化为等差、等比数列,或自然数的方幂,然后代入求和公式;二,消项,将很多项的和转化为少数几项的和。为此应注意以下两方面。
一、应熟悉常用的求和公式
等差数列求和公式:
;
等比数列求和公式:
;
自然数的方幂和公式:
;
;
。
例1、等差数列{an}的前n项和为,若,,求。
[分析] 由寻找
之间的关系。
[解题] 设数列{an}公差为d ,
,
,
,
,
,
所以成等差数列,
公差100d , 于是,
得。
[评注] 在等差数列{an}中,成等差数列,即,
,,……,成等差数列,且。即, 可推广为
,,……,。
二、掌握常用的转化方法
1、反序相加法:将一个数列倒过来写,当它与原数列相加时,如有公因式可提,并且剩余项和易于求得,则这样的数列可用反序相加法求和。等差数列前n项和公式就是用反序相加法推导出来的。
例2、等差数列{an}共10项,
,
,求Sn.。
[分析] 已知数列前四项和与后四项和,结合通项性质,联想Sn公式推导方法。
[解] 已知,
,两式相加,
得,得,
,
[评注] 1、重视反序相加法及通项性质:的应用,做到快捷准确;
2、灵活运用“整体代换”手段巧妙解决问题。
2、错位相消法:这是在推导等比数列前n项和公式时所用的方法,这种方法主要用于求数列的前n项和,其中和分别是等差和等比数列。
例3、求。
[分析] 数列可看作由两个数列和对应项之积构成,前者是等差数列,后者是等比数列,可采用乘公比,相减,使之错位相消。
解:当x=1时,;
当时,,
则,
两式相减得
。。
评注凡是由一等差数列和一等比数列对应项之积构成的数列求和,均可采用乘公比或除公比,然后相减,错位相消。但必须注意公比是否为1,否则须讨论。
3、分组转化法: 把数列的每一项分成两项,或把数列的项重新组合,或把整个数列分成两部分,使其转化成等差或等比数列,这一求和方法称为分组转化法。
例4、求数列……的前n项和。
[分析]写通项公式,由通项特征求解。
[解],

。
4、裂项相消法:把数列的每一项分成两项,然后重新组合,使之能消去一些项,最终达到求和目的。
例5、求数列的前n项和。
[分析] 写出通项公式,裂项求和。,
[解题] ,
,
。
[评注]1、分母为连续三个自然数的积,仍拆为两项的差,再相加,使得正负抵消。
一般的,裂项法可求解:若为等差数列,,公差为d,
则,且
;对于公差为d ()的等差数列,有。.
2、常见裂项法求和有两种类型:分式型和根式型,本例属分式型。
根式型如;。
3、前面的例4也可用裂项法求解。
因为
=
裂项相加,得

。
一般的, 对于通项为两因数的积,可推广到通项为k个因数的积。
由
,将每一项裂为两项的差,相加即可正负抵消。如此可求数列
……的前项和。
5、并项求和法:与裂项相消法相反,将两项并成一项,达到转化的目的。
例7、已知数列前n