高数习题课
主讲人:李彩云
函数
极限的性质与运算
单调有界原理和无理数e
极限
第一章函数和极限与连续
无穷小的比较
1. 函数的特性
有界性
设函数在数集上有定义,若存在某个确定的
,使得对一切,都有,则称函数在上有界.
反之,若对任意给定的正数(无论多么大),总存在,使得,则称在上无界.
单调性
设函数在数集上有定义,若对上的任意两点,恒有,则称在上单调增加.
1.
2. p14, 14(2)
x
y
o
a
b
x
y
o
b
a
增函数
减函数
复合函数与反函数
例1.
例2. 设,求及
例3. 设,求
例4. 已知,试求的表达式
例5. 反函数
需要做到: (1) 利用极限的定义进行证明
(2) 会求极限
注:定义中的是任意的,只有这样才能表达出
与无限接近的意思. 是与有关的数,它随的给定而给定.
注意:在利用定义证明某个数是数列的极限时重要的是对给定的正数,能找出定义所说的正整数就可以了,没必要去求最小的.
例
提示:
例
提示:
例
并举例说明
收敛数列的性质:
定理1 (极限的唯一性) 如果数列收敛,则极限唯一.
定理2 (收敛数列的有界性) 如果数列收敛,则它一定有界.
定理3 (收敛数列的保号性) 如果
问题:有界一定收敛吗?
例
极限不存在:
例
证明:
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