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主成分分析方法
多元分析处理的是多指标的问题。由于指标太多,使得分析的复杂性增加。观察指标的增加本来是为了使研究过程趋于完整,但反过来说,为使研究结果清晰明了而一味增加观察指标又让人陷入混乱不清。由于在实际工作中,指标间经常具备一定的相关性,故人们希望用较少的指标代替原来较多的指标,但依然能反映原有的全部信息,于是就产生了主成分分析、对应分析、典型相关分析和因子分析等方法。
本节主要内容:
主成分分析的基本原理
主成分分析的计算步骤
主成分分析方法应用实例
在分析多要素的复杂系统中,多变量问题是经常会遇到的。变量太多,无疑会增加分析问题的难度与复杂性,而且在许多实际问题中,多个变量之间是具有一定的相关关系的。
因此,人们会很自然地想到,能否在相关分析的基础上,用较少的新变量代替原来较多的旧变量,而且使这些较少的新变量尽可能多地保留原来变量所反映的信息?
问题的提出:
事实上,这种想法是可以实现的,主成分分析方法就是综合处理这种问题的一种强有力的工具。
主成分分析是把原来多个变量划为少数几个综合指标的一种统计分析方法。
从数学角度来看,这是一种降维处理技术。
定义:记x1,x2,…,xP为原变量指标,z1,z2,…,zm(m≤p)为新变量指标
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系数lij的确定原则:
① zi与zj(i≠j;i,j=1,2,…,m)相互无关;
② z1是x1,x2,…,xP的一切线性组合中方差最大者,
z2是与z1不相关的x1,x2,…,xP的所有线性组合
中方差最大者;
……
zm是与z1,z2,……,zm-1都不相关的x1,x2,…xP,
的所有线性组合中方差最大者。

则新变量指标z1,z2,…,zm分别称为原变量指标x1,x2,…,xP的第一,第二,…,第m主成分。
从以上的分析可以看出,主成分分析的实质就是确定原来变量xj(j=1,2 ,…, p)在诸主成分zi(i=1,2,…,m)上的荷载 lij( i=1,2,…,m; j=1,2 ,…,p)。
从数学上容易知道,从数学上可以证明,它们分别是的相关矩阵的m个较大的特征值所对应的特征向量。
计算步骤
(一)计算相关系数矩阵

rij(i,j=1,2,…,p)为原变量xi与xj的相关系数, rij=rji,其计算公式为:
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