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数理统计中常用的分布除正态分布外,还有三个非常有用的连续型分布,即
 2分布
t 分布
F分布
数理统计的三大分布(都是连续型).
它们都与正态分布有密切的联系.
!
在本章中特别要求掌握对正态分布、 2分布、t分布、F分布的一些结论的熟练运用. 它们是后面各章的基础.
第四节三大抽样分布及常用统计量的分布
(卡方)——分布
定义1:设总体, 是的一个样本,则统计量
的概率密度函数为
则称统计量服从自由度为n的分布,
记作
0 1 3 5 7 9 11 13 15 17 x

n=1
n=4
n=10
图5-4
f(y)
其图形随自由度的不同而有所改变.
分布密度函数的图形
注:自由度是指独立随机变量的个数,
性质1: 2分布的数学期望与方差
设 2~ 2(n),则E( 2)=n,D( 2)=2n.
性质2: 2分布的可加性
设
且
相互独立,
则
定理1 设(X1,X2,…,Xn)为取自正态总体X~N(, 2)
的样本,则
证明
由已知,有
Xi~N(, 2)且X1,X2,…,Xn相互独立,
则
且各
相互独立,
由定义1 :得
定理3 : 设(X1,X2,…,Xn)为来自正态总体
X~N(, 2)的样本,则
(1) 样本均值与样本方差S 2相互独立;
(2)
()
()式的自由度为什么是n-1?
从表面上看,
是n个正态随机变量
的平方和,
但实际上它们不是独立的,
它们之间有一种线性约束关系:
=0
这表明,当这个n个正态随机变量中有n-1个取值给定时,剩下的一个的取值就跟着唯一确定了,故在这n项平方和中只有n-()式的自由度是n-1.
定理3: 设(X1,X2,…,Xn)为来自正态总体
X~N(, 2)的样本,则
(1) 样本均值与样本方差S 2相互独立;
(2)
()
与以下补充性质的结论比较:
性质设(X1,X2,…,Xn)为取自正态总体
X~N(, 2)的样本,则
其几何意义见图5-5所示.
其中f(x)是 2-分布的概率密度.
f(x)
x
O

图5-5
显然,在自由度n取定以后, 的值只与有关.
 2分布的上侧分位点
例如,当n=21,=,由附表3(P254)可查得,

即