高中数学竞赛.doc

一、填空题(每小题8分,共64分)
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,则__________________________.
,则的最小值等于__________________________.
,,是实数,若方程的三个根构成公差为1的等差数列,则,,应满足的充分必要条件是__________________________.
,,,,,,动点的轨迹所覆盖的平面区域的面积等于________________________.
,构成直角三角形的概率是__________________.
 
二、解答题(共86分)
9.(20分)设数列满足,,.求的通项公式.
10.(22分)求最小正整数使得可被2010整除.
11.(22分)已知的三边长度各不相等,,,分别是,,的平分线与边,,:的面积小于的面积.
12.(22分)桌上放有根火柴,,第一次可取走至多根火柴,:当时,甲是否有获胜策略?请详细说明理由.
2010年全国高中数学联赛安徽赛区预赛试卷
参考答案及评分标准
一、填空题(每小题8分,共64分)
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提示:因,设(),则(其中,,为锐角),所以当时,,当时,,故.
2. 答案:
提示:因两函数图象关于直线对称,所以,,∴,解得.
3. 答案:
提示:正八面体由两个棱长都相等的正四棱锥组成,所以任意两个相邻面所成二面角是正四棱锥侧面与底面所成二面角的两倍.∵,∴,则.
4. 答案:
提示:由椭圆方程知,,设其参数方程为(为参数)代入双曲线方程,得.
因两曲线相切,∴,故.
5. 答案:
提示:在复平面上,设,,,则当为的费马点时,取得最小值,最小值为.
6. 答案:且.
提示:设三个根为,,,则,
右边展开与左边比较得,,,消去得,这就是所求的充要条件.
7. 答案:
提示:如图,根据向量加法的几何意义,知点在图中的三个平形四边形及其内部运动,所以动点的轨迹所覆盖的平面区域的面积等于等于面积的2倍,即.
8. 答案:
提示:从正方体的八个顶点中随机选取三点,共有个三角形,其中直角三角形有个,所求“构成直角三角形”的概率是.
 
二、解答题(共86分)
9. 解:特征根法. 又,,…………(10分)
得,
于是.………