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等差数列
教学目标
<1>知识与技能
通过实例理解等差数列的概念,通过生活中的实例引出等差数列模型,使学生认识到等差数列是现实世界中大量存在的数列模型,并归纳出等差数列的定义。
<2>过程与方法
探索并掌握等差数列的通项公式,由等差数列的概念,通过归纳或迭加或迭代等方法探索等差数列的通项公式。并通过与一次函数的图象的比较,探索等差数列的通项公式的图象特征以及它与一次函数之间的联系。
<3>情感态度与价值观
通过对等差数列的研究,使学生明确等差数列与一般数列的内在联系,体会特殊与一般的观点。
教学重点与难点
<1>教学重点:理解等差数列的概念及其性质,探索并掌握等差数列的通项公式,会用公式解决一些简单的问题,体会等差数列与一次函数之间的联系。
<2>教学难点:概括通项公式推导过程中体现出的数学思想方法。
教学过程
第一课时
<1>回顾
在前两节课的学习中,我们认识了一种与我们日常生活紧密相关的数学概念---数列,大家还记得数列是怎样定义的吗?(提问)
另外我们还认识了数列的分类方法及数列的几种简单表示法---通项公式法、列表法、图象法、递推公式法。
<2>引入
从实数的研究引出数列的研究
我们在初中学习过实数,我们在学习实数时,是从实数的运算与性质出发进行研究的,那么对于数列我们同样也能从研究数列的项与项之间的某些运算与性质入手进行研究。我们遵从特殊到一般的原则进行研究,则需从一些特殊数列着手。
课本P36的生活实例
现在我们一起来看看一看课本36页的几个常见生活实例,看看它们有无特殊之
处呢?(共同阅读例子)
它们都各自代表一个数列,大家有没有发现它们的共同点呢?(提问)
总结:我们发现,这些数列有一个共同特点就是从第二项起,每一项与前一项的差都等于同一常数。在此基础上我们可以这样提出一个特殊的概念---等差数列。
<3>等差数列的概念
我们阅读一下课本上等差数列的定义:
等差数列(arithmetic sequence/.:Arithmetic Progression):一般的,如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,mon difference),用字母d表示(即difference)。
在英语中,arithmetic表示算术或四则运算,因此我们可以这样理解,等差数列就是在加或减的运算基础上建立起来的一种特殊的数列。在了解了等差数列的概念后,我们回到刚刚的四个例子上,我们便知道那四个数列的公差分别是?
(与学生共同说出答案)
事实上我们也可以这样进行诠释:
(板书:用符号进行定义解释,对注意事项进行提示。)
若a,A,b构成一个等差数列,那我们可将这一数列看成是最简单的等差数列,这时,我们称A为a与b的等差中项(arithmetic mean/算术中项)。
注意等差中项的特点:
由此我们可得出:
故而,换句话说,若在一个数列中存在有相邻的使得,则称的等差中项。
3、等差数列实际上是一种最简单的递推数列。(在上一节课中,我们知道了数列的几种简单表示法,递推公式是其中的一种表示方法,我们从等差数列的定义知道,这里等差数列事实上是一种最简单的递推数列,我们可以试着给出它的递推公式:。)
<4>等差数列的通项公式
(那