函数单调性.doc

学科:数学
教学内容:函数的单调性
 
【自学导引】
 
 
(1)取值,(2)作差,(3)变形,(4)判号,(5)结论.
=f(x)在某区间上是增(减)函数,则y=-f(x),在这个区间上为减(增)函数;若函数y=f(x)和y=g(x)在某个公共区间上都是增(减)函数,则y=f(x)+g(x)在这个区间上是增(减)函数.
=f(x)在闭区间[a,b]上具有单调性,(x)在[a,b]上递增时,ymax=f(b),ymin=f(a),当f(x)在[a,b]上递减时,ymax=f(a),ymin=f(b).
 
【自学导引】
=f(x)在闭区间[a,b]上单调,它在[a,b]上必有最大值和最小值?
答: ∵y=f(x)在[a,b]上单调
若它在[a,b]上单调递增,则对任意的x∈[a,b],有a≤x≤b
∴f(a)≤f(x)≤f(b),∴f(a)是它的最小值,f(b)是它的最大值.
若它在[a,b]上单调递减,则对任意的x∈[a,b]有a≤x≤b,∴f(a)≥f(x)≥f(b),
∴f(a)是它的最大值,f(b)是它的最小值,总之,f(x)在[a,b]上必有最大值和最小值.
=f(x)在[a,b]上递增,你能判定函数y=的单调性吗?
答: =2x-1在[0,+∞上单调递增,但y=在[0,+∞上不具有单调性,画出y=f(x)=的图象,可知:它在(,+∞)上递减,在[0,上也递减,在x=处没有定义.
一般地,y=f(x)在[a,b]上递增,并且x∈[a,b]时,f(x)>0(<0),可根据定义证明y=在[a,b]上单调递减.
 
【典例剖析】
[例1]已知f(x)=x3+x(x∈R),
(1)判断f(x)在(-∞,+∞)上的单调性,并证明;
(2)求证:满足f(x)=a(a为常数)的实数x至多只有一个.
(1)解: 设x1<x2,即x1-x2<0
f(x1)-f(x2)=(x13+x1)-(x23+x2)=(x13-x23)+(x1-x2)=(x1-x2)(x12+x1x2+x22+1)
=(x1-x2)[(x1+)2+x23+1]<0
∴f(x1)-f(x2)<0 即f(x1)<f(x2)
因此f(x)=x3+x在R上是增函数
(2)证明: 假设x1<x2且f(x1)=f(x2)=a
由f(x)在R上递增∴f(x1)<f(x2)
此与f(x1)=f(x2)矛盾.
∴原命题正确.
点评: 证明二次函数在给定区间上的单调性时,变形的主要手段是配方,通过配方达到判断符号目的.
[例2]已知函数y=f(x)在R上是增函数,求证:若y=g(x)在(a,b)上是增函数,则函数y=f[g(x)]在(a,b)上也是增函数.
证明: 设u=g(x),任取x1,x2∈(a,b),且a<x1<x2<b,
∵u=g(x)在(a,b)上是增函数,∴u1<u2,
又∵y=f(x)在R上是增函数,
∴f(u1)<f(u2)即f[g(x1)]<f[g(x2)],
∴y=f[g(x)]在(a,b)上是增函数.
点评: 复合函数单调性的规律是:增增为增;减减为增;增(减)减(增