大学数学论文.doc

本科毕业论文
题目矩阵的QR分解及应用
系别数学与信息科学学院
专业数学与应用数学
指导教师刘熠
评阅教师
班级 2008级3班
姓名杨秀忠
学号
2011年 5月 16 日
目录
摘要 I
Abstract I
1引言 1
2 利用Schmidt正交化求矩阵的QR分解 1
3 利用Householder变换求矩阵的QR分解 4
4 利用Givens变换求矩阵的QR分解 7
5 利用初等变换求矩阵的QR分解 10
6 矩阵QR分解的应用 12
参考文献 13
结束语 13
致谢 14
摘要:矩阵是数学研究中一类重要的工具之一,有着非常广泛的应用,、Householder矩阵变换、.
关键词:QR分解;Schmidt正交化、Householder矩阵变换、Givens矩阵变换、初等变换.
Abstract:The matrix is a important tool in class of mathematical research, and it has a very wide range of applications plays a key role in matrix theory and development of putational mathematics. The methods of matrix QR pose have such as Schmidt orthogonalization method, Householder matrix transformation, Givens matrix transformation and elementary transformation to matrix. in this paper , the proof of these methods and simple applications.
Key words: QR pose; Schmidt orthogonalization; Householder matrix transformation; Givens matrix transformation; elementary transformation
1引言
如果实非奇异矩阵A能够化成正交矩阵Q与实非奇异上三角矩阵R的乘积,即
A=QR (1)
则称(1)为A的QR分解.
矩阵的QR分解是一种特殊的三角分解,在解决矩阵特征值的计算、最小二乘法等问题中起到重要的作用,而且得到他们的精确解非常重要,,计算量非常大,且不易求其精确解时,故在工程技术上,,以加强对QR分解思想及方法的深刻理解.
2利用Schmidt正交化求矩阵的QR分解
设,则可以唯一地分解为

其中是正交矩阵,是实非奇异上三角矩阵.
证明设,则,,,是线性无关的.
用Schmidt方法将,,,正交化,得
,
,

.
其中,
将上式改写为
,
,

.
记
,,
,.
则上述各式可以写成
,
,

.
于是
.
显然,是正交矩阵,是实非奇异上三角矩阵.
接下来证明这种分解的唯一性.
设有两个分解式:,则
.
所以,既是正交举证有是实非奇异上三角矩阵,又易知:既是正交举证有是实非奇异上三角矩阵只能是单位矩阵,即有
.
于是,根据逆矩阵的唯一性知
,.
注由上述证明过程可得
,
其中,
.
例1 试求矩阵的分解.
解令
,,.
经过Schmidt正交化,得
,
,
,
令
,
由注得:
则
.
利用相同的证明思路,定理1可以推广位为列满秩矩阵的情形.
设,,满足,是实非奇异上三角阵,容易看出.
3利用Householder变换求矩阵的QR分解
设且,称为Householder矩阵,由Householder所确定的变换称为Householder变换.
Householder矩阵有如下性质:
(1) (对称矩阵)
(2) (正交矩阵)
(3) (对合矩阵)
(4) (自逆矩阵)
(5)是阶Househ