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2014届杭州二中高三数学热身考数学试卷(理科)
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分. 考试时间120分钟. 请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上.
第I卷(共50分)
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
,集合,若, 则等于( )
A. B. C. D.
2. 已知函数,若是的导数,则( )
A. B. C. D.
3. 在的展开式中,只有第项的二项式系数最大,则展开式中常数项是( )
A. B. C. D.
4. 设函数条件:“”;条件:“为奇函数”,则是的( )
A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 设是等差数列的前项和,, 则的值为( )
A. B. C. D.
6. 设为的外心,且,则的内角=( )
O
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
·
A. B. C. D.
,已知球是棱长为1 的正方体的内切球,则平面截球的截面面积为( )
A. B. C. D.
8. 过的直径的三等分点作与直径垂直的直线分别与圆周交,如果以为焦点的双曲线恰好过,则该双曲线的离心率是( )
A. B. C. D.
9. 已知正方形的边长为6,空间有一点(不在平面内)满足,则三棱锥的体积的最大值是( )
A. B. C. D.
,若存在闭区间,使得函数满足:①在上是单调函数;②在上的值域是,则称区间是函数的“和谐区间”.下列结论错误的是( )
()存在“和谐区间”
()不存在“和谐区间”
)存在“和谐区间”
(,)不存在“和谐区间”
第Ⅱ卷(共100分)
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分.
开始
输入a,b,c
a=b
a>b?
N
Y
a=c
a>c?
N
Y
输出a
结束
11. 如果复数的实部和虚部相等,则等于▲.
12. 各项均为实数的等比数列的前n项和为,若,,则等于▲.
,令
,则输出结果为▲.

△中,所对边分别为、、.若,则
▲.
15. 已知点的坐标满足,设,则(为坐标原点)的最大值为▲.
16. 正方体的12条棱的中点和8个顶点共20个点中,任意两点连成一条直线,其中与直线垂直的直线共有▲条.
,将函数的图像向下平移2个单位后得曲线,,则实数的取值范围为▲.

三、解答题:本大题共5小题,共72分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
18.(本小题满分14分)已知函数的最大值为2.
(Ⅰ)求函数在上的单调递减区间;
(Ⅱ)中,,角所对的边分别是
,且,求的面积.
19.(本小题满分14分)袋中有1个白球和4个黑球,且球的大小、,若取到白球则结束,否则,继续取球,但取球总次数不超过次.
(Ⅰ)当每次取出的黑球不再放回时,求取球次数的数学期望与方差;
(Ⅱ)当每次取出的黑球仍放回去时,求取球次数的分布列与数学期望.
20. (本小题满分14分)如图,四面体中,是的中点,和均为等边三角形,。
(Ⅰ)求证:平面;
(Ⅱ)求二面角的余弦值;
(Ⅲ)求点到平面的距离.
21. (本小题满分15分)给定椭圆:,称圆心在原点,半径为的圆是椭圆的“准圆”. 若椭圆的一个焦点为,其短轴上的一个端点到的距离为.
(Ⅰ)求椭圆C的方程和其“准圆”方程;
(Ⅱ)点P是椭圆C的“准圆”上的一个动点,过动点P作直线,使得与椭圆C都只有一个交点,且分别交其“准圆”于点M, N,
(1)当P为“准圆”与y轴正半轴的交点时,求的方程. (2)求证:为定值.
22.(本小题满分15分)已知函数(其中为常数,), 将函数的最大值记为,由构成的数列
的前项和记为.
(Ⅰ)求;
(Ⅱ)若对任意的,总存在使,求的取值范围;
(Ⅲ)比较与的大小,并加以证明.
2014年杭州二中高三数学热身考理科数学答案
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.
1. C 2. D. 3. A 4. B 5. D 6. B 7. A 8. B. 根据题意 9. D
10. 根据“和谐区间”的定义,我们只要寻找到符合条件的区间即可,对函数(),“和谐区间”,函数是增函数,若存在“和谐区间”,则,因此
方程至少有两个不等实根,考虑函数,由,得,可得在时取得最小值,而,即的最小值为正,无实