函数的单调性.doc

函数的单调性,函数的奇偶性
[本周教学重点] 掌握函数单调性的定义,会用定义法证明函数的单调性及其步骤。
(1) 设x1,x2是定义域上的任意两个值,且x1<x2;
(2) 作差f(x1)-f(x2)并将其变形为可判断符号的形式;
(3) 判断f(x1)-f(x2)的正、负;
(4) 结论
理解函数奇偶性的定义及奇、偶函数定理,能判断、证明一些简单函数的奇偶性,会利用函数奇偶性求解有关函数问题。
(1) 函数的定义域在数轴上关于原点对称,是函数具有奇偶性的必要条件。
(2) f(-x)=-f(x)f(-x)+f(x)=0f(x)是奇函数。
f(x)=f(-x)f(-x)-f(x)=0f(x)是偶函数。
由f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是侧重于函数解析式的变形去证明f(x)的奇偶性;而f(-x)+f(x)=0或f(-x)-f(x)=0是通过运算去证明f(x)的奇偶性,两种定义形式各具不同优势。
(3) 若f(x)是奇函数且允许x=0,则f(0)=0,即f(x)的图象过原点。
(4) 若f(x)既是奇函数,又是偶函数,则f(x)=0。
(5) 同为奇函数,同为偶函数的两个函数之积是偶函数;一奇一偶两个函数之积是奇函数。
(6) 定义在R上的任意一个函数f(x)都可表示为一个奇函数g(x)与一个偶函数h(x)的和。
即f(x)=g(x)+h(x),其中g(x)=[f(x)-f(-x)],h(x)= [f(x)+f(-x)]。
[例题分析]
(x)=在定义域上的单调性。
[分析与解答] 函数的单调性必须在定义域内进行考查。由x2+x≥0得f(x)定义域为(-∞,-1][0,+∞)。
函数定义域不是一个连续的区间,应分别考查在每一个区间上的单调性,用定义法证明时,只需任取x
1<x2,作差f(x1)-f(x2)。对整理后的表达式分区间讨论,便可得到各区间上单调性的结论。
任取x1<x2。由f(x1)-f(x2)=
==
当-∞<x1<x2≤-1时,x1-x2<0,x1+x2+1<0,>0。
∴ f(x1)-f(x2)>0,∴ f(x)是(-∞,-1]上的单调递减函数。
当0≤x1<x2<+∞时,x1-x2<0,x1+x2+1>0。>0。
∴ f(x1)-f(x2)<0,∴ f(x)是[0,+∞)上的单调递增函数。
(x)是[0,+∞)上的单调递减函数,f(x)≠0且f(2)=1,证明函数F(x)=f(x)+在[0,2]上的单调性。
[分析与解答]函数f(x)没有给出解析式,因此对F(x)的函数值作差后,需由f(x)的单调性,确定作差后的符号。任取0≤x1<x2≤2。
由F(x1)-F(x2)=f(x1)+-f(x2)-=f(x1)-f(x2)+
=[f(x1)-f(x2)]·[1-]
∵ 0≤x1<x2≤2且f(x)是[0,+∞)上的单调递减函数,∴ f(x1)>f(x2)≥f(2)=1。
∴ f(x1)-f(x2)>0,f(x1)·f(x2)>1, <1,1->0,
∴ F(x1)-F(x2)>0,F(x)是[0,2]上的单调递减函数。

(x)=的奇偶性