2025年《数值计算方法》试题集和答案(1 6).pdf

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?e?.x(x?)?e?x(x?.)f(x)?e?x,f???(x)??e?x,M?max|f???(x)|?又x?[,]|R(x)|?|e?x?P(x)|?|x(x?.)(x?)|!故截断误差。f(x)?(x?)ex??、给定方程)分析该方程存在几个根;)用迭代法求出这些根,精确到位有效数字;)说明所用的迭代格式是收敛的。(x?)ex??解:)将方程()改写为x??e?x()f(x)?x?f(x)?e?xx*?(,)作函数,的图形(略)知()有唯一根。.:..子曰:“知者不惑,仁者不忧,勇者不惧。”——《论语》.x??e?x)将方程()改写为?x??e?xk?k??x?.(k?,,,?)构造迭代格式计算结果列表如下:k.........xk?(x)??e?x??(x)??e?x),x?[,]?(x)?[?(),?()]?[,]当时,,且|??(x)|?e??x??(x)(k?,,,?)x?[,]所以迭代格式k?k对任意均收敛。、用牛顿(切线)法求的近似值。取x=.,计算三次,保留五位小数。f(x)?x??f?(x)?x解:是的正根,,牛顿迭代公式为x?xx?x?nx?n?(n?,,,?)n?nxn?xn,即n取x=.,列表如下:nx...nL(x)、已知f(-)=,f()=,f()=-,求拉格朗日插值多项式及f(,)的近似值,取五位小数。(x?)(x?)(x?)(x?)(x?)(x?)L(x)??????(??)(??)(?)(?)(?)(?)解:?(x?)(x?)?(x?)(x?)?(x?)(x?)f(.)?L(.)??..:..人人好公,则天下太平;人人营私,则天下大乱。——刘鹗.?exdx、n=,用复合梯形公式求的近似值(取四位小数),并求误差估计。??exdx?T?[e?(e?e)?e]?.?解:f(x)?ex,f??(x)?ex?x?|f??(x)|?e,时,ee|R|?|ex?T|???.??.?至少有两位有效数字。y?a?bx、(分)用最小二乘法求形如的经验公式拟合以下数据:xiy....i??span{,x}解:??AT?????yT?....??ATAC?ATy解方程组???.?ATA?ATy????????.?其中?.?C????.?a?.b?.解得:所以,?x?edx、(分)用n?的复化梯形公式(或复化Simpson公式)计算时,试用余项估计其误差。用n?的复化梯形公式(或复化Simpson公式)计算出该积分的近似值。b?aR[f]??hf??(?)???e??.T解:hT()?[f(a)??f(x)?f(b)]kk??[??(.?.?.?.?.?.)?.]?.x?x??x?.、(分)方程在附近有根,把方程写成三种不同的等价形式().:..长风破浪会有时,直挂云帆济沧海。——??x??x?x?n?xx?x?x对应迭代格式n?n;()对应迭代格式n;()x?x?x?.x?x?对应迭代格式。判断迭代格式在的收敛性,选一种收敛格n?n式计算x?.附近的根,精确到小数点后第三位。???(x)?(x?)??(.)?.?解:(),,故收敛;??(x)??x???(.)?.?x(),,故收敛;??(x)?x??(.)??.?(),,故发散。x?.x?.x?.x?.x?.选择():,,,,,x?.x?.,、数值积分公式形如?xf(x)dx?S(x)?Af()?Bf()?Cf?()?Df?()A,B,C,D试确定参数使公式代数精R(x)??xf(x)dx?S(x)f(x)?C[,]度尽量高;()设,推导余项公式,并估计误差。A?,B?,B?,D??f(x)?,x,x,x解:将分布代入公式得:?H(x)?f(x)ii?H(x)H?(x)?f?(x)i?,x?,x?构造Hermite插值多项式满足?其中iif()(?)f(x)?H(x)?x(x?)?xH(x)dx?S(x)!则有:,f()(?)R(x)??x[f(x)?S(x)]dx??x(x?)dx!f()(?)f()(?)f()(?)??x(x?)dx??!!?、(分)已知数值积分公式为:hh?f(x)dx?[f()?f(h)]??h[f'()?f'(h)],试确定积分公式中的参数?,使其代数精确度尽量高,并指出其代数精确度的次数。f(x)?解:显然精确成立;.:..勿以恶小而为之,勿以善小而不为。——?xdx??[?h]??h[?]f(x)?x时,;hhhh?xdx??[?h]??h[?h]???h???f(x)?x时,;hhh?xdx??[?h]?h[?h]f(x)?x时,;hhhh?xdx??[?h]?h[?h]?f(x)?x时,;所以,其代数精确度为。a(a?)、(分)已知求的迭代公式为:ax?(x?)x?k?,,?k?kxkk?,,?,x?a?x?证明:对一切k,且序列k是单调递减的,从而迭代过程收敛。aax?(x?)???x??ak?,,?k?kxkx证明:kkk?,,?,x?a故对一切k。xak??(?)?(?)?x?x?x?xx又kk所以k?k,即序列k是单调递减有下界,从而迭代过程收敛。?f(x)dx?[f()?f()]、(分)数值求积公式是否为插值型求积公式?为什么?其代数精度是多少?x?x?p(x)??f()??f()f(x)??解:是。因为在基点、处的插值多项式为?p(x)dx?[f()?f()]。其代数精度为。x?cos?x??、(分)写出求方程在区间[,]的根的收敛的迭代公式,并证明其收敛性。.:..先天下之忧而忧,后天下之乐而乐。——范仲淹.??x???x???cos?x?n?nn(分),n=,,,…?'?x??sin?x???x?[,]∴对任意的初值,迭代公式都收敛。、(分)以,,为插值节点,用插值法计算的近似值,并利用余项估计误差。用Newton插值方法:差分表:.-..?+.(-)-.(-)(-)=.???f'''x?xf'''???R??????????!??????.sin?x?I??dx、(分)用复化Simpson公式计算积分x的近似值,要求误差限为.??。.:..子曰:“知者不惑,仁者不忧,勇者不惧。”——《论语》.????????S??f?f???f??.??????????????S??f???f?f?f?f????.????????????????I?S?S?S?.?-I?S?.sin?x?xxxxf?x?????????或利用余项:x!!!!xxf()?x??????f()?x???!?!?b?a?R?f()?????.??n?nn?I?S??,,、(分)用Gauss列主元消去法解方程组:?x?x?x???x?x?x??x?x?x??..........-........-.....x??.,.,.?T、(分)构造代数精度最高的如下形式的求积公式,并求出其代数精度:???xf?x?dx?Af?Af??????.:..百川东到海,何时复西归?少壮不努力,老大徒伤悲。——(x)=,x,令公式准确成立,得:A?A?A?A?A?A?,,f(x)=x时,公式左右=/;f(x)=x时,公式左=/,公式右=/∴公式的代数精度=、(分)已知下列函数表:xf(x)()写出相应的三次Lagrange插值多项式;f(.)()作均差表,写出相应的三次Newton插值多项式,并计算的近似值。解:()(x?)(x?)(x?)(x?)(x?)(x?)(x?)(x?)(x?)(x?)(x?)(x?)L(x)????(?)(?)(?)(?)(?)(?)(?)(?)(?)(?)(?)(?)?x?x?x?()均差表:N(x)??x?x(x?)?x(x?)(x?)f(.)?N(.)?、(分)取个等距节点,分别用复化梯形公式和复化辛普生公式计算积分?dx?x的近似值(保留位小数)。f(x)?解:个点对应的函数值?xx..if(x)....i.:..臣心一片磁针石,不指南方不肯休。——文天祥.----------------------------------------------------------(分)()复化梯形公式(n=,h=/=.):.T?[??(.