2025-2026学年山东省济南市实验中学高二上学期10月月考数学试题(解析精品.pdf

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】的内容，可以使用淘豆网的站内搜索功能，选择自己适合的文档，以下文字是截取该文章内的部分文字，如需要获得完整电子版，请下载此文档到您的设备，方便您编辑和打印。:..去留无意,闲看庭前花开花落;宠辱不惊,漫随天外云卷云舒。——《幽窗小记》2025-2026学年山东省济南市实验中学高二上学期10月月考数学试题一、,正确的是()A.|a|?|b|?|a?b|是a,?b?0,b?c?0,则a?{a,b,c}为空间的一个基底,则{a?b,2a?b,c?a}构成空间的另一个基底D.|(a?b)?c|?|a|?|b|?|c|【答案】C【分析】向量a,b同向时,a?b?a?b,可判断A;取b?0可判断B;假设??????a?b,2a?b,c?a共面,可设a?b?m2a?b?nc?a?2m?na?mb?nc,判断关于m、n的方程组是否有解,可判断C;(a?b)?c?(a?b)?c?a?osa,b可判断D.【详解】对于A,向量a,b同向时,a?b?a?b,故A错误;对于B,若a?b?b?c?0,若b?0,则不一定有a?c,故B错误;对于C,假设a?b,2a?b,c?a共面,??????可设a?b?m2a?b?nc?a?2m?na?mb?nc,?2m?n?1?由于a,b,c为空间的一个基底,可得??m?1,该方程组无解,??n?0假设不成立,所以a?b,2a?b,c?a构成空间的另一个基底,故C正确;对于D,(a?b)?c?(a?b)?c?a?osa,b,:,直三棱柱ABC?ABC中,若CA?a,CB??c,则AB等于()11111:..好学近乎知,力行近乎仁,知耻近乎勇。——《中庸》?a??.a?b??a?c【答案】A【分析】根据向量的加减法规则运算即可.【详解】解:因为三棱柱ABC?ABC是直三棱柱,A是平行四边形,11111,11????所以AB?CB?CA?CB?CA?AA?CB???a?b?c;1111故选::mx?y?1?0,l:(4m?3)x?my?1?0,若l//l,则实数m的值为()【答案】A【分析】根据两直线平行的等价条件列方程,再解方程即可求解.【详解】因为直线l:mx?y?1?0,l:(4m?3)x?my?1?0,12?m2?4m?3若l//l,则?,解得:m?3,12?m??1?所以实数m的值为3,故选:,在正三棱柱ABC?ABC中,若AB?2BB,则AB与BC所成角的大小为()111111:..先天下之忧而忧,后天下之乐而乐。——????【答案】B【分析】取向量BA,BC,BB为空间向量的一组基底向量,表示出AB与BC,再借助空111间向量运算即可计算作答.【详解】在正三棱柱ABC?ABC中,向量BA,BC,BB不共面,AB?BB?BA,111111BC?BC?BB,11令|BB|?a,则|BA|?|BC|?2a,而BB?BA,BC?BB,111于是得2AB?BC?(BB?BA)?(BC?BB)?BB?BC?BB?BA?BC?BA?BB1111111?a2?2a?2acos60?0,因此,AB?BC,11所以AB与BC所成角的大小为90?.11故选:(1,3),B(?2,?1).若直线l:y?k(x?2)?1与线段AB恒相交,则k的取值范围是()?1?A.,???B.(??,?2]??2??1??1?C.(??,?2]?,???D.?2,????2??2?【答案】D【分析】由题意,求直线所过的定点,作图,根据斜率的变化规律,可得答案.【详解】由直线方程y=k?x?2?+1,令x=2,解得y=1,故直线过定点?2,1?,如下图:1?31?11则直线PA的斜率k==?2,直线PB的斜率k??,PA2?1PB2?22?1?由图可知:k??2,.???2?故选:D.:..好学近乎知,力行近乎仁,知耻近乎勇。——《中庸》=1和x-y-7=0分别交于A,B两点,若线段AB的中点为M(1,-1),则直线l的斜率为().?D.?2323【答案】D【分析】设出直线l的斜率为k,又直线l过M点,写出直线l的方程,然后分别联立直线l与已知的两方程,分别表示出A和B的坐标,根据中点坐标公式表示出M的横坐标,让表示的横坐标等于1列出关于k的方程,求出方程的解即可得到k的值即为直线的斜率.【详解】设直线l的斜率为k,又直线l过M(1,﹣1),则直线l的方程为y+1=k(x﹣1),?y?1?kx?kk?2k?2联立直线l与y=1,得到?,解得x=,所以A(,1);?y?1kk?y?1?kx?k6?k6k?16?k联立直线l与x﹣y﹣7=0,得到?,解得x=,y=,所以B(,?x?y?7?01?k1?k1?k6k?1),1?kk?26?k2又线段AB的中点M(1,﹣1),所以+=2,解得k=﹣.k1?k3故选D.【点睛】此题考查学生根据两直线方程求两直线的交点坐标,灵活运用中点坐标公式化简求值,考查学生计算能力及逻辑推理能力,,在直二面角D?AB?E中,四边形ABCD是边长为2的正方形,?AEB是等腰直角三角形,其中?AEB?90,【答案】B【分析】建立如图所示的空间直角坐标系,:..志不强者智不达,言不信者行不果。——墨翟则A?0,?10,?,E?1,0,0?,D?0,?1,2?,C?01,,2?,???0,0,2????11,,0????0,2,2?从而,,ADAEAC设平面ACE的法向量为n??x,y,z??n???0??x?y?0则?AE,即??n???0?2y?2z?0?AC令y?1,则x??1,z??1?n???11,,?1?为平面ACE的法向量?,?23故点D到平面ACE的距离d?ADn????3,5?、B?2,8?,动点在直线x?y?1?0上,则PA?PB的最小值P为()【答案】D【解析】作出图形,可知点A、B在直线x?y?1?0的同侧,并求出点B关于直线x?y?1?0的对称点B?的坐标,即可得出PA?PB的最小值为AB?.【详解】如下图所示::..操千曲尔后晓声,观千剑尔后识器。——刘勰由图形可知,点A、B在直线x?y?1?0的同侧,且直线x?y?1?0的斜率为1,?a?2b?8??1?0??????22设点B关于直线x?y?1?0的对称点为点B?a,b,则?,b?8???1????a?2解得a?7,b?3,即点B??7,3?,由对称性可知PA?PB?PA?PB??AB????3?7?2??5?3?2?226,故选:D.【点睛】本题考查位于直线同侧线段和的最小值的计算,一般利用对称思想结合三点共线求得,考查数形结合思想的应用,、:mx?y?1?0,A1,0,B?3,1?,则下列结论正确的是()?0,1??0时,直线l的斜率不存在3??1时,?2时,直线l与直线AB垂直4【答案】CD【分析】根据已知条件逐一判断正误即可.【详解】直线l:mx?y?1?0,故x?0时,y??1,故直线l恒过定点?0,?1?,选项A错误;当m?0时,直线l:y?1?0,斜率k?0,故选项B错误;3?当m?1时,直线l:x?y?1?0,斜率k??1,故倾斜角为,选项C正确;41?01当m?2时,直线l:2x?y?1?0,斜率k??2,k??,AB3?12:..百学须先立志。——朱熹故k?k??1,故直线l与直线AB垂直,:CD.【点睛】本题考查了直线的方程与斜率的应用,()(1,3),B(?3,1)的直线的倾斜角为30°?3y?6?0与直线ax?y?2?0垂直,则a??2Cx?2y?4?02x?4y?1?(2,3),B(?1,1),点P在x轴上,则|PA|?|PB|的最小值是5【答案】ABC【分析】运用解析几何的基础知识,分析每个选项的几何意义,?11【详解】对于A,A,B两点所在直线的斜率为k??,设倾斜角为?,1???3?21则tan??,??30?,A错误;22对于B,直线2x?3y?6?0的斜率k,直线ax?y?2?0的斜率k??a,13223由于两直线垂直,?kk??1,?a??1,a?,错误;1232对于C,选取直线x?2y?4?0上一点?0,2?,则点?0,2?到直线2x?4y?1?0的距离就是两直线的距离,2?0?4?2?195d??,错误;22?4210对于D,如图:作点A关于x轴对称点A'?2,?3?,连接BA',与x轴的交点为P,则P就是使得PA?PB最小的点,:..不飞则已,一飞冲天;不鸣则已,一鸣惊人。——《韩非子》PA?PB的最小值为BA'??2?1?2???3?1?2?5,正确;故选:?ABCD中,P,的中点,则下列说法正确11111的是()//??11【答案】ABD【分析】由线面平行的判定定理可判断A;作出截面,由等腰梯形的定义可判断B;由反证法可判断C;由两异面直线所成的角可判断D.【详解】对于选项A:依题意得BC//PQ,PQ?平面AQP,BC?平面AQP,所以11BC//;1对于选项B:平面AQP截正方体所得截面为四边形APQD,因为AD//PQ,且11AD?PQ,又AP?DQ,;111对于选项C:若AD?平面AQP,则AD?AP,由AA?平面ABCD得AA?AP,且1111ADAA?A,所以AP?平面ADDA,;11111对于选项D:因为BC//PQ,所以?ACB是异面直线QP与AC所成的角,由△ACB1111111为等边三角形可知?ACB?:ABD.:..士不可以不弘毅,任重而道远。仁以为己任,不亦重乎?死而后已,不亦远乎?——《论语》,在菱形ABCD中,AB=2,∠BAD=60°,将△ABD沿对角线BD翻折到△PBD位置,连结PC,则在翻折过程中,下列说法正确的是()°,使得PB⊥﹣BD﹣C的大小为90°时,PC?,使得B到平面PDC的距离为3【答案】BC【分析】A,取BD的中点O,连接OP、OC,则OP=OC?∠PCO,当PC?3时∠PCO=60°>45°,即可判断;B,当点P在平面BCD内的投影为△BCD的重心点Q时,可得PB?平面PBQPB⊥CD,即可判断;C,当二面角P﹣BD﹣C的大小为90°时,平面PBD⊥平面BCD,即可得△POC为等腰直角三角形,即可判断;D,若B到平面PDC的距离为3,则有DB平面PCD,即DB⊥CD,与△BCD是等边三角形矛盾.【详解】解:选项A,取BD的中点O,连接OP、OC,则OP=OC?3.:..臣心一片磁针石,不指南方不肯休。——文天祥由题可知,△ABD和△BCD均为等边三角形,由对称性可知,在翻折的过程中,PC与平面BCD所成的角为∠PCO,当PC?3时,△OPC为等边三角形,此时∠PCO=60°>45°,即选项A错误;选项B,当点P在平面BCD内的投影为△BCD的重心点Q时,有PQ⊥平面BCD,BQ⊥CD,∴PQ⊥CD,又BQ∩PQ=Q,BQ、PQ?平面PBQ,∴CD⊥平面PBQ,∵PB?平面PBQ,∴PB⊥CD,即选项B正确;选项C,当二面角P﹣BD﹣C的大小为90°时,平面PBD⊥平面BCD,∵PB=PD,∴OP⊥BD,∵平面PBD∩平面BCD=BD,∴OP⊥平面BCD,∴OP⊥OC,又OP=OC?3,∴△POC为等腰直角三角形,∴PC?2OP?6,即选项C正确;选项D,∵点B到PD的距离为3,点B到CD的距离为3,∴若B到平面PDC的距离为3,则平面PBD⊥⊥平面PCD,则有DB平面PCD,即DB⊥CD,与△:、填空题???23,2,则它的倾斜角为__________.【答案】150【分析】根据直线斜率公式结合已知直线的方向向量可以直接求出直线的斜率,进而根据斜率求解倾斜角.??【详解】解:因为直线l的一方向向量为?23,2,:..老当益壮,宁移白首之心;穷且益坚,不坠青云之志。——唐·王勃3所以直线l的斜率为k??,,3?设直线l的倾斜角?,则???0,180,?3所以tan???,即??:(1,2),且点P(4,0)到l的距离为3,则直线l的一般式方程为__________.【答案】x?1?0或5x?12y?19?0【分析】首先要考虑直线斜率不存在的情况,然后当直线斜率存在时,将斜率设出来,写出直线的方程,利用点到直线的距离公式可以得到关于斜率的方程,即可得到斜率的值,即得到直线的方程.【详解】当直线l斜率不存在时,直线l过点M?1,2?,则直线l的方程为x?1,此时,P?4,0?到l的距离为3,符合题意,所以直线l的一般方程为:;x?1?0当直线l的斜率存在时,设为k,则直线l的方程为:y?2?k?x?1?,即:kx?y?k?2?0,P?4,0?到直线的距离为3,4k?k?25?3k?即:,解得:,k2???1?2125所以直线l的方程为:y?2??x?1?,12一般式方程为:5x?12y?19?0,综上,直线l的一般式方程为:x?1?0或5x?12y?19?:x?1?0或5x?12y?19?-ABC中,是边长为2菱形,∠CBB?60?,BC交BC11111111于点O,AO?,且ABC为等腰直角三角形,如图建立空间直角坐标系111O?xyz,:..以家为家,以乡为乡,以国为国,以天下为天下。——《管子》??【答案】?3,1,1【分析】过点A作AE?B,连接BE,CE,则BE//OC,CE//OB,AE//AO,**********【详解】三棱柱ABC-ABC中,是边长为2菱形,∠CBB?60?,111111BC交BC于点O,AO?,且ABC为等腰直角三角形,11111如图建立空间直角坐标系O-xyz,过A作AE?B,垂足是E,连接BE,CE,111111则BE//OC,CE//OB,AE//AO,11111???点A的坐标为?3,1,??故答案为:?3,1,、双空题?????0,0,?x?,B1,2,2,Cx,2,2三点,点M在平面ABC内,O是平面ABC外一点,OM?xOA?2xOB?4OC,则x?___________.,?【答案】?13【分析】由四点共面可得x?2x?4?1,即可求x,进而可求AB、AC,利用空间向量夹角的坐标表示求AB与AC的夹角余弦值,进而确定其大小.【详解】∵A,B,C,M四点共面,又OM?xOA?2xOB?4OC,∴x?2x?4?1,可得x??1.????故A0,0,1,C?1,2,2,则AB?(1,2,1),AC?(?1,2,1),∴AB?AC?(1,2,1)?(?1,2,1)?2,|AB|?2,|AC|?2,:..勿以恶小而为之,勿以善小而不为。——刘备AB?AC1∴cos?AB,AC???,由?AB,AC??[0,?],|AB||AC|2?∴?AB,AC??.3?故答案为:?1,.3五、(3,-1,2),B(1,2,-1),C(-1,1,-3),D(3,-5,3).求证:四边形ABCD是一个梯形.【答案】见证明【分析】利用向量的运算法则证明AB与CD共线即可.【详解】证明:因为=(1,2,-1)-(3,-1,2)=(-2,3,-3),=(3,-5,3)-(-1,1,-3)=(4,-6,6),因为==,所以和共线,即AB∥=(3,-5,3)-(3,-1,2)=(0,-4,1),=(-1,1,-3)-(1,2,-1)=(-2,-1,-2),因为≠≠,所以与不平行,所以四边形ABCD为梯形.【点睛】本题考查了利用向量证明梯形的方法,,在直三棱柱ABC-ABC中,∠ABC=,D是棱AC的中点,且AB=BC=1112BB=(1)求证:AB∥平面BCD;11(2)【答案】(1)见解析(2)3:..饭疏食,饮水,曲肱而枕之,乐亦在其中矣。不义而富且贵,于我如浮云。——《论语》【分析】连接BC交BC于点O,连接OD在三角形中由中位线得ODAB,继而证明111线面平行(2)建立空间直角坐标系,运用空间向量求出向量夹角的余弦值,从而得到夹角【详解】(1)证明:如图,连接BC交BC于点O,∵O为BC的中点,D为AC的中点,∴OD∥∵AB平面BCD,OD?平面BCD,111∴AB∥(2)解:建立如图所示的空间直角坐标系B-(0,0,0),A(0,2,0),C(2,0,2),B(0,0,2).11∴AB=(0,-2,2),BC=(2,0,2).11ABBC0?0?41?cosAB,BC?11??11ABBC22?222111设异面直线AB与BC的夹角为θ,则cos??.112???????0,?,????2?3【点睛】本题考查了线面平行及异面直线所成角的问题,在证明线面平行时运用其判定定理,有中点找中点,构造三角形中位线或者平行四边形来证明线线平行,异面直线所成角的问题可以采用建立空间直角坐标系,运用坐标来求解。?3??2,?,且与x轴正半轴交于点A,与y轴正半轴交于点B,点?2?A的横坐标与点B的纵坐标均为整数,O是坐标原点,若______,求直线l的一般式方:..老当益壮,宁移白首之心;穷且益坚,不坠青云之志。——唐·①△AOB的周长为12,②△AOB的面积是6这两个条件中任选一个补充在前面的横线中,并解答.【答案】??【分析】设直线l的方程为??1a?N*,b?N*,若选择①,则由三角形的周长,列ab?3?出方程,再将点P?2,?的坐标代入方程,解方程组可求出a,b,从而可求出直线方程,?2??3?若选择②,由三角形的面积,列出方程,再将点P?2,?的坐标代入方程,解方程组可?2?求出a,b,??【详解】设直线l的方程为??1a?N*,b?N*,ab若选择①,由题意可知a?b?a2?b2?12,(Ⅰ)3?3?又∵直线l过点P?2,?,∴22,(Ⅱ)?2???1ab?a?4由(Ⅰ)(Ⅱ)且a?N*,b?N*,解得?,?b?3∴直线l的一般式方程为3x+4y-12=②,?33??3??22?a?4直线l过P2,,则2,联立???1,解得?,??2?2???1abb?3??ab????ab?12∴直线l的一般式方程为3x+4y-12=,在直三棱柱ABC?ABC中,(1)求证:BC平面MCA;11(2)若?BMC是正三角形,且AB?BC,:..长风破浪会有时,直挂云帆济沧海。——李白15【答案】(1)见解析.(2).5【详解】试题分析:(1)连接AC,设AC与AC的交点为N,则N为AC的中点,连1111接MN,通过证明MN//BC可证到线面平行.(2)可求得?ACB?90?,以CC为x轴,11CB为y轴,:(1)连接AC,设AC与AC的交点为N,则N为AC的中点,连接MN,1111又M是AB的中点,所以MN//?平面MCA,BC?平面MCA,所以BC//(2)M是AB的中点,BMC是正三角形,则?ABC?60?,?BAC?30?,?ACB?90?,设BC?1,?3,以CC为x轴,CB为y轴,CA为z轴建立空间直角坐标11系.?????13???则B?0,1,0?,A0,0,3,A3,0,3,M0,,,AB?0,1,?3,????????122???13???CM??0,,?,CA?3,0,3.?22?1??????n?CM?0n??x,y,z?MCAMCA设是平面的法向量,则?,可取平面的法向量为1n?CA?01????1??n?1,3,?1,则AB?n1515cos?AB,n???,【点睛】空间向量在立体几何中的应用(1)两条异面直线所成角的求法:设两条异面直线a,b的方向向量为a,b,其夹角为θ,a?b则cosφ=|cosθ|=(其中φ为异面直线a,b所成的角).|a||b|:..吾日三省乎吾身。为人谋而不忠乎?与朋友交而不信乎?传不面所成的角的求法:如图所示,设直线l的方向向量为e,平面α的法向量n?e为n,直线l与平面α所成的角为φ,两向量e与n的夹角为θ,则有sinφ=|cosθ|=.ne(3)求二面角的大小:①如图①,AB,CD是二面角α-l-β的两个面内与棱l垂直的直线,则二面角的大小θ=?AB,CD?②如图②③,n,n分别是二面角α-l-β的两个半平面α,β的法向量,则二面12角的大小θ=〈n,n〉(或π-〈n,n〉).,在四棱锥P-ABCD中,侧面PAD⊥底面ABCD,侧棱PA=PD=2,PA⊥PD,底面ABCD为直角梯形,其中BC∥AD,AB⊥AD,AB=BC=1,O为AD中点.(1)求B点到平面PCD的距离;6(2)线段PD上是否存在一点Q,使得二面角Q-AC-D的余弦值为若存在,求出3PQ的值;若不存在,【答案】(1);(2)见解析3【分析】(1)取AD中点为O,连接OP,OC,可以证明OP?平面ABCD,OC?OD,:..子曰:“知者不惑,仁者不忧,勇者不惧。”——《论语》故可建立如图所示的空间直角系,??PD,用?表示Q的坐标,从而平面QAC的法向量也可以用?表示,根据二面6PQ角的余弦值为可得到?【详解】在?PAD中,PA?PD,O为AD中点,∴PO?∵侧面PAD?底面ABCD,平面PAD平面ABCD?AD,PO?平面PAD,∴PO??PAD中,PA?PD,PA?PD?2,∴AD?,O为AD的中点,AB?AD,∴OC?,OC为x轴,OD为y轴,OP为z轴建立空间直角坐标系,如图所示,则P?0,0,1?,A?0,?1,0?,B?1,?1,0?,C?1,0,0?,D?0,1,0?,(1)∴PB??1,?1,?1?.设平面PCD的法向量为u??x,y,z?,?u·CP?0??x?z?0则?即?取z?1,得u??1,1,1?.u·PD?0?y?z?0?PB·u3则B点到平面PCD的距离d??.u3(2)设PQ??PD?0???1?.∵PD??0,1,?1?,∴OQ?OP?PQ??0,?,???,∴OQ??0,?,1???∴Q?0,?,1???∴AC??1,1,0?,AQ??0,??1,1???,,.设平面CAQ的法向量为m??x,y,z?,:..子曰:“知者不惑,仁者不忧,勇者不惧。”——《论语》?m·AC?0?x?y?0则即,取z?1??,得m??1??,??1,??1?.??m·AQ?0???1?y??1???z?0??平面CAD的一个法向量为n??0,0,1?,6∵二面角Q?AC?D的余弦值为,3m·n6∴cosm,n??.mn31PQ1整理化简,得3?2?10??3???或??3(舍去),∴存在,且?.3QD2【点睛】(1)空间中一点P到平面?的距离d可由空间向量来计算,在平面中取一点Q,PQ·n则d?.n(2)与线段PD上的动点Q相关的问题,如果用空间向量来解决,则需设PQ??PD,因为此时Q的坐标是关于?的一次式,?2?m?x??2m?1?y?3m?4?0.(1)证明:直线恒过定点;(2)m为何值时,点Q?3,4?到直线的距离最大,最大值为多少?(3)若直线分别与x轴,y轴的负半轴交于A,B两点,【答案】(1)证明见解析;(2)m?时,距离最大,最大值为213;(3)AOB面积7的最小值为4,此时直线方程为2x?y?4?0.【分析】(1)整理直线方程可得方程组,解方程组可求得定点坐标;(2)易知当定点P与Q连线垂直时,点Q到直线距离最大;求出PQ方程后,利用直线垂直关系可构造方程求得m;利用两点间距离公式可求得最大值;(3)利用直线方程可A,B坐标,并确定m的取值范围,利用m表示出S,可得一个AOB19S??分式型的函数,通过换元法可表示出AOB25025,由二次函数最值的求解???2t2t方法可求得所求面积最小值,并求得m的值,由此可得直线方程.【详解】(1)由直线方程整理可得:??x?2y?3?m?2x?y?4?0,??x?2y?3?0?x??1由得:,?直线恒过定点P??1,?2?;???2x?y?4?0?y??2:..去留无意,闲看庭前花开花落;宠辱不惊,漫随天外云卷云舒。——《幽窗小记》(2)由(1)知:直线恒过定点P??1,?2?,则当PQ与直线垂直时,点Q到直线距离最大,y?2x?1又PQ所在直线方程为:?,即3x?2y?1?0,4?23?1????4?当PQ与直线垂直时,32?m?22m?1?0,解得:m?;7则最大值PQ???1?3?2???2?4?2?213;(3)由题意知:直线斜率存在且不为零,3m?4?3m?4?令x?0得:y??,即B?0,??;2m?1?2m?1?3m?4?3m?4?令y?0得:x??,即A??,0?;2?m?2?m??3m?4??0????12m?1又A,B位于x,y轴的负半轴,??,解得:??m?2;3m?42???0????2?m13m?43m?41?3m?4?2S?????,AOB22?m2m?12?2m2?3m?25t?4令3m?4?t,则?t?10,?m?,231t219t219?S??????AOB2?t?4?2t?42?2t2?25t?5025025,?2?3??2???2??t2t?3?35112?t?10,???,210t511?5025?9则当?,即m?0时,???2?,??S??4,??t4?t2t?8AOBminmax此时直线的方程为:2x?y?4?0.