2025年(常考题)人教版高中数学选修二第二单元《一元函数的导数及其应用》检测精品.pdf

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】的内容，可以使用淘豆网的站内搜索功能，选择自己适合的文档，以下文字是截取该文章内的部分文字，如需要获得完整电子版，请下载此文档到您的设备，方便您编辑和打印。:..英雄者,胸怀大志,腹有良策,有包藏宇宙之机,吞吐天地之志者也。——《三国演义》一、选择题????x2?2x?2,x?(x)??,若f(x)?ax恒成立,则实数a的取值范围是?x?1?1,x?0?()????A?2?22,1?B??,1C2?22,0D?2?22,0?.??...??11xxf?x??x3?ax2?2bx?cabc?,是函数(,,)的两个极值点,1232x???2,0?x??0,2?,,则2a?b的取值范围为()12???,?2???2,4???2,?????4,4?.?????2??R,b≠0,若x?b是函数fx?x?bx?ax?b的极小值点,则实数b的取值范围为()?1且b≠??2且b≠??x?y?2?0,x?2y?6?2ln2?0,记11122M??x?x?2??y?y?2,则()?x??cos2xf??x?g(x)?23f(x)?f?(x),则函数在x?[0,?]内的单调递增区间是()???????5?11???5??,B.,?C.,D.,??????????2??2??1212??12?f?x?2f?x??xf'?x??0x?(),则()?????????????1?3f?2?2f??3?3f?2?6f?1????????6f??1??2f?3?3f?23f?2?2f?3?6f??1?(x)(x∈R)满足f(1)?1,且f(x)的导数f′(x)>,则不等式f(x)??的222解集()A.(-∞,1)B.(1,+∞)C.(-∞,-1]∪[1,+∞)D.(-1,1)f?x??x3?tx2?3x?1,4?,则实数t的取值范围是()51?51?[,??)???,3???,?3,???.???8?:..君子忧道不忧贫。——孔丘y?f?x?y??2x?,函数的图像在点P处的切线方程是,则f?4??f??4?的值为().-??x??的图象大致是()(x)=-alnx,若f′(2)=3,则实数a的值为().-.-2f?x??3x?x3?a?5,2a?1?,则实数的取值范围是()??1,4???1,4?.?1??1?C.??1,D.??1,???2??2?二、,C、D是两所学校所在地,C、D到一条公路的垂直距离分别为CA?8km,DB?,决定在AB上找一点P,分别向C、D???修建两条互相垂直的公路PC和PD,设?APC??0???,则当PC?PD最小???2?时,AP?_______km.:..古之立大事者,不惟有超世之才,亦必有坚忍不拔之志。——苏轼???(x)?xsinx?cosx在,?上的最大值为________.???6?(x)?2x3?2x2在区间[?1,2]?x??ex?2x?1??ax?a,其中a?1,若仅存在两个整数n使得f?n??0a,(a≤0),函数,若不存在,使,?x??sinx?cosxf'?x?f?x?f'?x??2f?x?,是的导函数,若,则001?sin2x0??(x)的导函数为f'(x),且满足f(x)?2xf'(1)?lnx,则f'(1)=(x)=x3-2x2+x+a,g(x)=-2x+,若对任意的x∈[-1,2],存在1xx∈[2,4],使得f(x)=g(x),、(x)?lnx?ax(a?R).(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)证明不等式ex?2?ax?f(x)?x??lnx?a?x?1???2f?x?(1)当时,求的单调区间;g?x??f?x??2x?1g?x?xx(2)设,证明:当a?1时,有两个极值点,,并求12x2?(x)?xlnxg(x)?x2?ax?a?R?,.f(x)?1,0?g(x)a(1)设图象在点处的切线与的图象相切,求的值;2f(x)3(2)若函数F(x)??g(x)存在两个极值点x,x,且x?x?,求x12122:..博学之,审问之,慎思之,明辨之,笃行之。——《礼记》F?x??F?x?(x)?x2?(1)求函数f(x)在区间[1,e]上的最大值及最小值;(2)对x?D,如果函数f(x)的图象在函数G(x)的图象的下方,则称函数f(x)在区间2D上被函数G(x):函数f(x)在区间(1,??)上被函数g(x)??x????x???g?x?(1)设gx?,求的极值点;xm??x?x?0x2?x2?f?x??f?x?(2)若时,总有恒成立,(x)?x?,其中a?R,(1)当a??1时,求函数f(x)在区间[0,??)的零点个数;ex(2)若f(x)?对任意x?[?1,??)恒成立,【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、:A【分析】作出函数f(x)的图象,利用数形结合的思想判断a的范围,找出临界点即相切时a的取值,进而得出a的范围.【详解】作出f(x)的图象,如图,:..勿以恶小而为之,勿以善小而不为。——刘备由图象可知:要使f(x)ax恒成立,只需函数g(x)?ax的图象恒在图象f(x)的下方,可得a1,2P?m,n?(m?0)设g(x)?ax与函数f(x)?x?2x?2(x0)相切于点,由f(x)的导数为2x?2,可得切线的斜率为2m?2,即有a?2m?2,am?m2?2m?2,解得m??2,a?2?22由图象可得a2?22,综上可得a的范围是[2?22,1].故选:A【点睛】解决此类问题的关键是作出函数图象,根据数形结合的思想处理问题,本题关键找出相切时刻这一临界位置,:D【分析】f?x?求的导函数,导函数根的分布建立不等关系,再由线性规划得解.【详解】f??x??x2?ax?2b为二次函数开口向上,∵xxf?x?xxf??x?和是的极值点,∴和是的两个零点1212??∵x??2,0x??0,2?,,12:..博观而约取,厚积而薄发。——苏轼?f??2??0?2?a?b?0??∴f?0??0b?0?,即?????f2?02?a?b?0??如图为线性区域,令t?2a?b,则b?t?2a,画出b??2a平移至点A,此时t最小t??4min平移至点C,此时t最大,则t?4,∴2a?b??4,4?.【点睛】关键点睛:利用二次函数根的分布,建立关于a,b的不等关系,:B【分析】由x?b既是f(x)的极小值点,又是零点,且f(x)的最高次项系数为1,因此可设f(x)?(x?b)2(x?m),这样可求得m??1,然后求出f?(x),求得f?(x)的两个零点,一个零点是b,另一个零点x必是极大值点,由b?【详解】因为f(b)?0,x?b是函数f(x)的极小值点,结合三次函数的图象可设f(x)?(x?b)2(x?m),又f(x)?(x?b)(x2?ax?b),令x?0得b2m??b2,m??1,即f(x)?(x?1)(x?b)2,f?(x)?3x2?(4b?2)x?b2?2b?(x?b)(3x?b?2),由f?(x)?0得x?b,1b?2x?,23b?2b?2x?b是极小值点,则是极大值点,b?,所以b?:B.【点睛】本题考查导数与极值点的关系,解题关键是结合零点与极值点,设出函数表达式,然后再求极值点,:D【分析】设A(x,y),B(x,y),点A在函数y?lnx?x?2的图象上,点B在直线1122x?2y?2ln2?6?0上,则M?(x?x)2?(y?y)2的最小值转化为函数y?lnx?x?2的1212图象上的点与直线x?2y?2ln2?6?0上点距离最小值的平方,利用导数求出切点坐标,,即可得到M的:..志不强者智不达,言不信者行不果。——墨翟最小值,【详解】解:设A(x,y),B(x,y),1122点A在函数y?lnx?x?2的图象上,点B在直线x?2y?4?2ln2?0上,M?(x?x)2?(y?y)2的最小值转化为函数y?lnx?x?2的图象上的点与直线1212x?2y?2ln2?6??lnx?x?2,得y???1,与直线x?2y?2ln2?6?0平行的直线的斜率为x1k??.211令?1??,得x?2,则切点坐标为(2,ln2),x2|2?2ln2?2ln2?6|45切点(2,ln2)到直线x?2y?2ln2?6?0的距离d??.5516即M?(x?x)2?(y?y)(2,ln2)且与x?2y?2ln2?6?0垂直的直线为y?ln2?2(x?2),即2x?y?4?ln2?0,?x?2y?2ln2?6?014联立?,解得x?,?2x?y?4?ln2?0514即当M最小时,x?.25故选:D.【点睛】本题考查函数的最值及其几何意义,考查数学转化思想方法,训练了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程,:C【分析】f?x?先对函数求导,再利用辅助角公式化简,然后利用正弦函数图像和性质即可分增区间.【详解】f?x??cos2x,?f'?x???2sin2x,?2??g(x)?23cos2x?2sin2x?4sin?2x??,?3?:..士不可以不弘毅,任重而道远。仁以为己任,不亦重乎?死而后已,不亦远乎?——《论语》?2??令??2k??2x???2k?,2327??解得??k??x???k?,1212?5?11???g?x??0,??,在内的递增区间为??.?1212?故选:C.【点睛】本题主要考查的是正弦复合函数的单调性以及单调区间的求解,以及复合函数的导数的求法,熟练掌握正弦函数图像和性质是解决本题的关键,:B【分析】根据条件的结构特点构造函数,利用导数以及已知条件判断函数的单调性,然后转化求解即可.【详解】x2设g(x)=,定义在R上的奇函数f(x),所以g(x)是奇函数,x>0时,g′(x)f?x???????x2fx?xf'x=,f2?x?因为函数f(x)满足2f(x)﹣xf'(x)>0(x>0),所以g′(x)>0,3??21<g?2?所以g(x)是增函数,g(﹣3)=????<,f?3f?2f??1?????2f?3>3f?2>6f??1?可得:.故选B.【点睛】x2g?x??本题主要考查了函数的单调性的应用,其中解答中构造新函数,利用导数得f?x?g?x?到函数的单调性,利用函数的单调性进行比较是解答的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力,:A【分析】1x111g?x??f?x???g?1??f?1????0根据f′(x)>,构造函数,又,然后将不22222:..好学近乎知,力行近乎仁,知耻近乎勇。——《中庸》x1x1等式f(x)??,转化为f(x)???0,【详解】1因为f′(x)>,2??1所以f?x??02x11g?x??f?x????g??x??f??x???0?g?x?所以在R上递增,22211又g?1??f?1????0,22x1x1所以不等式f(x)??,即为f(x)???0,2222g?x??g?1?即为:,所以x?1,故选:A【点睛】本题主要考查函数的单调性与导数以及单调性的应用,还考查了构造转化求解问题的能力,:A【分析】f(x)?1,4?'x??1,4?由函数在区间上单调递减,得到不等式f(x)?0在恒成立,再根据二次函数根的分布,求实数t的取值范围.【详解】f?x??x3?tx2?3x?1,4?因为函数在区间上单调递减,f'(x)?3x2?2tx?3?0x??1,4?所以在恒成立,?f?(1)?0,?4?t?0,51所以?即?解得:t?.f?(4)?0,51?8t?0,8??【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、利用二次函数根的分布求参数取值范围,考查逻辑思维能力和运算求解能力,求解时要充分利用二次函数的图象特征,:C【分析】由切线方程可得切点坐标和切线斜率,进而可得结果.:..海纳百川,有容乃大;壁立千仞,无欲则刚。——林则徐【详解】y??2x?9x?4,y?1f??4??-2切线方程为:,当,f?4??1f(4)?f??4??-1则,故选:C【点睛】本题考查了导数得几何意义,考查了计算能力和逻辑推理能力,:D【分析】f?x?利用函数的奇偶性和单调性确定正确选项.【详解】x2?2f?x?f??x???f?x?f?x?的定义域为R,,所以为偶函数,?2当x?0时,f?x??,ex?x2?2x?2f'?x??,令f'x0解得x?3?1,ex??????所以fx在0,3?1递增,在3?1,??,:D【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性和单调性,:B【解析】f′(x)=-,故f′(2)=-=3,因此a=-:C【分析】f?x?f?x????,?1???1,1?对函数进行求导,可得函数在区间上单调递减,在区间上单调递增,在区间?1,???上单调递减,可得f(?1)??2,令f(x)??2,可得x??1或x?2f(x)?a?5,2a?1?a,可得的图像,由函数在区间上有最小值,数形结合可得关于的不等式,计算可得答案.【详解】f(x)?3x?x3f??x???3x2?3??3(x?1)(x?1)解:由,可得,:..博观而约取,厚积而薄发。——苏轼f??x??0x??1x?1f??x??0当?1?x?1,,当或时,,f?x????,?1???1,1??1,???所以函数在区间上单调递减,在区间上单调递增,在区间上单调递减,可得f(?1)??2,令f(x)??2,可得x??1或x?2,则f(x)的图像如图所示,?a?5,2a?1?a?5??1?2a?12因为函数在区间上有最小值,故,1解得:?1?a,2故选:C.【点睛】本题主要考查利用导数研究含参函数的最值问题,体现了数形结合的数学思想,考查学生的计算能力,、【分析】由题意得:再利用导数求函数的最小值即可;【详解】由题意得:当时当得:当得:当时取得最小值故答案为:12【点睛】利用导数求函数的最值注意不一定要把的值求出直接利用复合函数的性质可简化计算量解析:12【分析】ACDB827y?PC?PD????由题意得:sin??sin?cos?,再利用导数求函数的最sin(??)2小值即可;【详解】ACDB827y?PC?PD????由题意得:sin??sin?cos?,sin(??)28cos3??27sin3?2y'??,当y'?0时,tan??,sin2?cos2?3:..勿以恶小而为之,勿以善小而不为。——刘备22当y'?0得:tan??,当y'?0得:tan??,332?当tan??时,y取得最小值,3AC8AP???12?tan?2,3故答案为:12.【点睛】利用导数求函数的最值,注意不一定要把?的值求出,直接利用复合函数的性质,.【分析】先求导根据单调性求函数最大值即可【详解】因为当时函数递增当时函数递减所以故答案为:【点睛】易错点睛:求函数的最值注意要把极值和端点函数值比较取其最小或最大不确定时要分类讨论?解析:2【分析】先求导,根据单调性求函数最大值即可.【详解】因为f?(x)?sinx?xcosx?sinx?xcosx,????当x?,时,f?(x)?0,函数f(x)递增,???62????当x?,?时,f?(x)?0,函数f(x)递减,???2????????所以f(x)?f???sin?cos?.max?2?2222?故答案为:.2【点睛】易错点睛:求函数的最值注意要把极值和端点函数值比较,取其最小或最大,【分析】对函数求导由导数确定单调区间由单调性确定极值再比较极值与函数端点值即可确定函数最值【详解】f′(x)=6x2-4x=2x(3x-2)已知x∈-12当2≥x>或-1≤x<0时f′(x)>0f解析:8【分析】对函数求导,由导数确定单调区间,由单调性确定极值,再比较极值与函数端点值,即可确定函数最值.:..穷则独善其身,达则兼善天下。——《孟子》【详解】f′(x)=6x2-4x=2x(3x-2),2已知x∈[-1,2],当2≥x>或-1≤x<0时,f′(x)>0,32f(x)单调递增区间是[?1,0),(,2],322当0<x<时,f′(x)<0,f(x)单调递减区间是(0,),33故函数在x?0处取极大值,f(0)=0,又f(2)=8,故f(x):8【点睛】本题考查了利用导数求函数的最值,考查了计算能力,.【分析】设则存在两个整数使得利用导数分析函数的单调性与极值作出函数的图象可得出关于的不等式组进而可求得实数的取值范围【详解】设由题意可知存在两个整数使得当时;当时函数的最小值为而直线恒过定点如下图所?53?解析:,??2?3e2e?【分析】?g?x??ax?a?g?x??ex?2x?1?y?ax?axx11设,,则存在两个整数、,使得?,12g?x??ax?a????22y?g?x?y?g?x?a利用导数分析函数的单调性与极值,作出函数的图象,可得出关于的不等式组,进而可求得实数a的取值范围.【详解】g?x??ex?2x?1?y?ax?a设,,?g?x??ax?a?由题意可知,存在两个整数x、x使得?11,12g?x??ax?a????2211g??x??ex?2x?1?x??g??x??0x??g??x??0,当时,;当时,.22?1?2?y?g?x?g?x??g???函数的最小值为??,min?2?eg?0???1g?1??e?0y?ax?a?1,0?,,而直线恒过定点,如下图所示::..以家为家,以乡为乡,以国为国,以天下为天下。——《管子》f?x??0x??1x?0则满足不等式的两个整数解应分别为,,12?3?2a???g??1???2a???e53所以?,即?,解得?a?.g??2???3a53e22e??????3a??????e2?53?因此,实数a的取值范围是,?.?2?3e2e??53?故答案为:,?.?2?3e2e?【点睛】本题考查利用导数研究函数不等式的整数解问题,考查数形结合思想的应用,.-10【解析】【分析】先求导分别求出导函数的最值再根据不存在x1x2∈R使得f′(x1)=g′(x2)得到关于a的不等式解得即可【详解】∵函数f(x)=ex﹣ax函数g(x)=﹣x3﹣ax2∴f′(解析:【解析】【分析】先求导,分别求出导函数的最值,再根据不存在x,x∈R,使得f′(x)=g′(x),得到1212关于a的不等式解得即可.【详解】∵函数f(x)=ex﹣ax,函数g(x)=﹣x3﹣ax2,∴f′(x)=ex﹣a>﹣a,g′(x)=﹣x2﹣2ax=﹣(x)2,∵不存在x,x∈R,使得f′(x)=g′(x),1212∴,:..博观而约取,厚积而薄发。——苏轼解得-1≤a≤0,故答案为.【点睛】本题考查了导数的运算法则和函数的最值问题,以及不等式的解法,.【分析】求出导函数后由可得再结合可得又化简可得代入求值可得即为所求【详解】∵∴由得∴∵由得又∴把代入得:∴故答案为【点睛】本题考查同角三角函数关系式解题时注意公式的灵活应用和变形同时注意整体代换在解11解析:15【分析】f'?x??2f?x?cosx??3sinxsin2x?cos2x?1求出导函数后由可得,再结合可得00000011?sin2x1?sin2xsin2x?.又化简可得0?0,代入求值可得010cos2x?sin2x1?5sin2x0001?sin2x110?,?5sin2x150【详解】f?x??sinx?cosx∵,f'?x??cosx?sinx∴,f'?x??2f?x?cosx?sinx?2sinx?2cosx由,得,000000∴cosx??3sinx,00∵1?sin2x1?sin2x1?sin2x1?sin2x0?0?0?0①.cos2x?sin2x1?sin2x?2sinx?cosx1?sin2x?2sinx??3sinx?1?5sin2x000000000由cosx??3sinx,得cos2x?9sin2x,0000又sin2x?cos2x?1,001∴sin2x?②.0101?sin2x11把②代入①得:0?.1?5sin2x1501?sin2x11∴0?.cos2x?【点睛】:..为天地立心,为生民立命,为往圣继绝学,为万世开太平。——张载本题考查同角三角函数关系式,解题时注意公式的灵活应用和变形,同时注意整体代换在解题中的作用,.-1【解析】【分析】首先对函数求导然后利用方程思想求解的值即可【详解】由函数的解析式可得:令可得:则【点睛】本题主要考查导数的运算法则基本初等函数的导数公式方程的数学思想等知识意在考查学生的转化能力解析:-1【解析】【分析】f'?1?首先对函数求导,然后利用方程思想求解的值即可.【详解】1f'?x??2f'?1??由函数的解析式可得:,x1x?1f'?1??2f'?1??f'?1???1令可得:,【点睛】本题主要考查导数的运算法则,基本初等函数的导数公式,方程的数学思想等知识,.【解析】【分析】分别求出g(x)f(x)的最大值和最小值得到不等式组解出即可【详解】问题等价于f(x)的值域是g(x)的值域的子集显然g(x)单调递减∴g(x)max=g(2)=g(x)min=g(?73?解析:?,????42?【解析】【分析】分别求出g(x),f(x)的最大值和最小值,得到不等式组,解出即可.【详解】问题等价于f(x)的值域是g(x)的值域的子集,123显然,g(x)单调递减,∴g(x)=g(2)=,g(x)=g(4)=﹣;maxmin241对于f(x),f′(x)=3x2﹣4x+1,令f′(x)=0,解得:x=或x=1,3x,f′(x),f(x)的变化列表如下:(﹣1,11(,(1,x﹣11312)32)31)f′(x)+0﹣0+:..博学之,审问之,慎思之,明辨之,笃行之。——《礼记》4f(x)a﹣4递增+a递减a递增a+227∴f(x)=a+2,f(x)=a﹣4,maxmin?1a?2?????2∴?,23?a?4??????473∴a∈[﹣,﹣],4273故答案为:[﹣,﹣].42【点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题,考查导数的应用,转化思想,、解答题21.(1)答案见解析;(2)证明见解析.【分析】(1)求出函数导数,讨论a的范围结合导数即可得出单调性;(2)构造函数?(x)?ex?2?lnx,利用导数可得??(x)在(0,??)上有唯一实数根x,且01?x?2?(x)???x??0,则可得,【详解】11?ax(1)f?(x)??a?(x?0),xx当a?0时,f?(x)?0,所以f(x)在(0,??)上单调递增;1当a?0时,令f?(x)?0,得到x?,a?1??1?所以当x?0,时,f?(x)?0,f(x)单调递增,当x?,??,f?(x)?0,f(x)单?????a??a?,当a?0时,f(x)在(0,??)上单调递增;?1??1?当a?0时,f(x)在?0,?上单调递增,在?,???上单调递减.?a??a?(2)设函数?(x)?ex?2?lnx,1则??(x)?ex?2?,可知??(x)在(0,??)??(1)?0,??(2)?0知,??(x)在(0,??)上有唯一实数根x,且1?x?2,00:..长风破浪会有时,直挂云帆济沧海。——李白11???x??ex?2??0ex?2?则0,??0,x???(x)?0?(x)当时,,单调递减;0x??x??????(x)当时,(x)?0,单调递增;01?(x)???x??ex?2?lnxex?2?x?2??lnx所以0,结合0,知,00x0001x2?2x?1?x?1?2所以?(x)???x???x?2?00?0?0,0x0xx000则?(x)?ex?2?lnx?0,即不等式ex?2?ax?f(x)恒成立.【点睛】关键点睛:本题考查不等式恒成立的证明,解题的关键是转化为证明?(x)?ex?2?lnx的最小值大于0.?3?1??3?1?f?x?0,,??22.(1)的单调递增区间为??,单调递减区间为??;(2)证?????2?2???1,7?明见解析,.【分析】1?2x2?2x?1(1)求出f??x???2?x?1??,然后可求出答案;xxax2??a?2?x?1??h?x??ax2??a?2?x?1h?x??0(2)首先得出g?x?,设,设的xa?21x?x??0x?x??0g?x?两个根为x,x,可得,,即可证明有两个极值点1212a12a222422??x,x,然后利用x2?x2??x?x??2xx?1???????121212?a?aa2a【详解】(1)当a??2时,f?x??lnx??x?1?2?x?0?,1?2x2?2x?1f??x???2?x?1??.xx??3?1令f?x?0,即?2x2?2x?1?0,解得x?(负值舍去).23?1????当0?x?时,f?x?0,fx单调递增;23?1????当x?时,f?x?0,:..饭疏食,饮水,曲肱而枕之,乐亦在其中矣。不义而富且贵,于我如浮云。——《论语》?3?1??3?1?f?x?0,,??综上,的单调递增区间为??,单调递减区间为??.?2??2?????1g?x??f?x??2x?1?lnx?a?x?1?2?2x?1(2)由(1)得,21ax2??a?2?x?1g??x???a?x?1??2?.xxh?x??ax2??a?2?x?1设,a?21△??a?2?2?4a?a2?4?0x?x??0x?x??0因为,且,,12a12ah?x??0?0,???xx?0?x?x?所以在上有两个不等