2025年中考数学《平行四边形的综合》专项训练附详细答案 图文.pdf

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﹣2x+8相交于点123A,直线l1、l2与x轴分别交于点B、,.:..老当益壮,宁移白首之心;穷且益坚,不坠青云之志。——唐·王勃【答案】【变式探究】证明见解析【结论运用】8【迁移拓展】(﹣1,6),(1,10)【解析】【变式探究】连接AP,同理利用△ABP与△ACP面积之差等于△ABC的面积可以证得;【结论运用】过点E作EQ⊥BC,垂足为Q,根据勾股定理和矩形的性质解答即可;【迁移拓展】分两种情况,利用结论,求得点P到x轴的距离,再利用待定系数法可求出P的坐标.【详解】变式探究:连接AP,如图3:∵PD⊥AB,PE⊥AC,CF⊥AB,且S=S﹣S,△ABC△ACP△ABP111∴AB?CF=AC?PE﹣AB?∵AB=AC,∴CF=PD﹣PE;结论运用:过点E作EQ⊥BC,垂足为Q,如图④,:..以家为家,以乡为乡,以国为国,以天下为天下。——《管子》∵四边形ABCD是长方形,∴AD=BC,∠C=∠ADC=90°.∵AD=16,CF=6,∴BF=BC﹣CF=AD﹣CF=5,由折叠可得:DF=BF,∠BEF=∠DEF.∴DF=5.∵∠C=90°,∴DC=DF2?CF2?102?62=8.∵EQ⊥BC,∠C=∠ADC=90°,∴∠EQC=90°=∠C=∠ADC.∴四边形EQCD是长方形.∴EQ=DC=4.∵AD∥BC,∴∠DEF=∠EFB.∵∠BEF=∠DEF,∴∠BEF=∠EFB.∴BE=BF,由问题情境中的结论可得:PG+PH=EQ.∴PG+PH=8.∴PG+PH的值为8;迁移拓展:如图,:..不飞则已,一飞冲天;不鸣则已,一鸣惊人。——《韩非子》由题意得:A(0,8),B(6,0),C(﹣4,0)∴AB=22=10,BC=?8∴AB=BC,(1)由结论得:PD+PE=OA=81111∵PD=1=2,11∴PE=6即点P的纵坐标为6111又点P在直线l上,12∴y=2x+8=6,∴x=﹣1,即点P的坐标为(﹣1,6);1(2)由结论得:PE﹣PD=OA=82222∵PD=2,22∴PE=10即点P的纵坐标为10221又点P在直线l上,12∴y=2x+8=10,∴x=1,即点P的坐标为(1,10)1【点睛】本题考查了矩形的性质与判定、等腰三角形的性质与判定及勾股定理等知识点,,已知矩形ABCD中,E是AD上一点,F是AB上的一点,EF⊥EC,且EF=EC.(1)求证:△AEF≌△DCE.(2)若DE=4cm,矩形ABCD的周长为32cm,求AE的长.:..君子忧道不忧贫。——孔丘【答案】(1)证明见解析;(2)6cm.【解析】分析:(1)根据EF⊥CE,求证∠AEF=∠△AEF≌△DCE.(2)利用全等三角形的性质,对应边相等,再根据矩形ABCD的周长为32cm,:(1)证明:∵EF⊥CE,∴∠FEC=90°,∴∠AEF+∠DEC=90°,而∠ECD+∠DEC=90°,∴∠AEF=∠△AEF和Rt△DEC中,∠FAE=∠EDC=90°,∠AEF=∠ECD,EF=EC.∴△AEF≌△DCE.(2)解:∵△AEF≌△==AE+4.∵矩形ABCD的周长为32cm,∴2(AE+AE+4)=,AE=6(cm).答::此题主要考查学生对全等三角形的判定与性质和矩形的性质等知识点的理解和掌握,难易程度适中,,在正方形ABCD中,点G在对角线BD上(不与点B,D重合),GE⊥DC于点E,GF⊥BC于点F,连结AG.(1)写出线段AG,GE,GF长度之间的数量关系,并说明理由;(2)若正方形ABCD的边长为1,∠AGF=105°,求线段BG的长.【答案】(1)AG2=GE2+GF2(2)【解析】:..百川东到海,何时复西归?少壮不努力,老大徒伤悲。——汉乐府试题分析:(1)结论:AG2=GE2+=GC,四边形EGFC是矩形,推出GE=CF,在Rt△GFC中,利用勾股定理即可证明;(2)作BN⊥AG于N,在BN上截取一点M,使得AM===BM=2x,MN=x,在Rt△ABN中,根据AB2=AN2+BN2,可得1=x2+(2x+x)2,解得x=,推出BN=,再根据BG=BN÷cos30°:(1)结论:AG2=GE2+:连接CG.∵四边形ABCD是正方形,∴A、C关于对角线BD对称,∵点G在BD上,∴GA=GC,∵GE⊥DC于点E,GF⊥BC于点F,∴∠GEC=∠ECF=∠CFG=90°,∴四边形EGFC是矩形,∴CF=GE,在Rt△GFC中,∵CG2=GF2+CF2,∴AG2=GF2+GE2.(2)作BN⊥AG于N,在BN上截取一点M,使得AM==x.∵∠AGF=105°,∠FBG=∠FGB=∠ABG=45°,∴∠AGB=60°,∠GBN=30°,∠ABM=∠MAB=15°,∴∠AMN=30°,∴AM=BM=2x,MN=x,在Rt△ABN中,∵AB2=AN2+BN2,∴1=x2+(2x+x)2,解得x=,∴BN=,∴BG=BN÷cos30°=.:..去留无意,闲看庭前花开花落;宠辱不惊,漫随天外云卷云舒。——《幽窗小记》考点:1、正方形的性质,2、矩形的判定和性质,3、勾股定理,4、直角三角形30度的性质8.(1)问题发现:如图①,在等边三角形ABC中,点M为BC边上异于B、C的一点,以AM为边作等边三角形AMN,,NC与AB的位置关系为;(2)深入探究:如图②,在等腰三角形ABC中,BA=BC,点M为BC边上异于B、C的一点,以AM为边作等腰三角形AMN,使∠ABC=∠AMN,AM=MN,,试探究∠ABC与∠ACN的数量关系,并说明理由;(3)拓展延伸:如图③,在正方形ADBC中,AD=AC,点M为BC边上异于B、C的一点,以AM为边作正方形AMEF,点N为正方形AMEF的中点,,若BC==2,试求EF的长.【答案】(1)NC∥AB;理由见解析;(2)∠ABC=∠ACN;理由见解析;(3)241;【解析】分析:(1)根据△ABC,△AMN为等边三角形,得到AB=AC,AM=AN且∠BAC=∠MAN=60°从而得到∠BAC-∠CAM=∠MAN-∠CAM,即∠BAM=∠CAN,证明△BAM≌△CAN,.(2)根据△ABC,△AMN为等腰三角形,得到AB:BC=1:1且∠ABC=∠AMN,根据相似ABAC三角形的性质得到=,利用等腰三角形的性质得到∠BAC=∠MAN,根据相似三AMAN角形的性质即可得到结论;(3)如图3,连接AB,AN,根据正方形的性质得到∠ABC=∠BAC=45°,∠MAN=45°,根据BMAB相似三角形的性质得出=,得到BM=2,CM=8,:(1)NC∥AB,理由如下:∵△ABC与△MN是等边三角形,∴AB=AC,AM=AN,∠BAC=∠MAN=60°,∴∠BAM=∠CAN,在△ABM与△ACN中,:..老当益壮,宁移白首之心;穷且益坚,不坠青云之志。——唐·王勃?AB?AC???BAM??CAN,??AM?AN∴△ABM≌△ACN(SAS),∴∠B=∠ACN=60°,∵∠ANC+∠ACN+∠CAN=∠ANC+60°+∠CAN=180°,∴∠ANC+∠MAN+∠BAM=∠ANC+60°+∠CAN=∠BAN+∠ANC=180°,∴CN∥AB;(2)∠ABC=∠ACN,理由如下:ABAM∵?=1且∠ABC=∠AMN,BCMN∴△ABC~△AMNABAC∴=,AMAN∵AB=BC,1∴∠BAC=(180°﹣∠ABC),2∵AM=MN1∴∠MAN=(180°﹣∠AMN),2∵∠ABC=∠AMN,∴∠BAC=∠MAN,∴∠BAM=∠CAN,∴△ABM~△ACN,∴∠ABC=∠ACN;(3)如图3,连接AB,AN,∵四边形ADBC,AMEF为正方形,∴∠ABC=∠BAC=45°,∠MAN=45°,∴∠BAC﹣∠MAC=∠MAN﹣∠MAC即∠BAM=∠CAN,ABAM∵??2,BCANABAC∴=,AMAN∴△ABM~△ACNBMAB∴=,CNACCNAC2∴?=cos45°=,BMAB2:..博观而约取,厚积而薄发。——苏轼22∴?,BM2∴BM=2,∴CM=BC﹣BM=8,在Rt△AMC,AM=AC2?MC2?102?82?241,∴EF=AM=:本题是四边形综合题目,考查了正方形的性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的性质定理和判定定理、相似三角形的性质定理和判定定理等知识;本题综合性强,有一定难度,①,在△ABC中,AB=7,tanA=,∠B=45°.点P从点A出发,沿AB方向以每秒1个单位长度的速度向终点B运动(不与点A、B重合),过点P作PQ⊥-CB于点Q,以PQ为边向右作正方形PQMN,设点P的运动时间为t(秒),正方形PQMN与△ABC重叠部分图形的面积为S(平方单位).(1)直接写出正方形PQMN的边PQ的长(用含t的代数式表示).(2)当点M落在边BC上时,求t的值.(3)求S与t之间的函数关系式.(4)如图②,点P运动的同时,点H从点B出发,沿B-A-B的方向做一次往返运动,在B-A上的速度为每秒2个单位长度,在A-B上的速度为每秒4个单位长度,当点H停止运动时,点P也随之停止,、S(平方单位)(0<S<S),直接写出当S≥【答案】(1)PQ=7-t.(2)t=.(3)当0<t≤时,S=.当<t≤4,.当4<t<7时,.(4)或或:..不飞则已,一飞冲天;不鸣则已,一鸣惊人。——《韩非子》.【解析】试题分析:(1)分两种情况讨论:当点Q在线段AC上时,当点Q在线段BC上时.(2)根据AP+PN+NB=AB,列出关于t的方程即可解答;(3)当0<t≤时,当<t≤4,当4<t<7时;(4):(1)当点Q在线段AC上时,PQ=tanAAP=,PQ=7-t.(2)当点M落在边BC上时,如图③,由题意得:t+t+t=7,解得:t=.∴当点M落在边BC上时,求t的值为.(3)当0<t≤时,如图④,S=.当<t≤4,如图⑤,.:..非淡泊无以明志,非宁静无以致远。——诸葛亮当4<t<7时,如图⑥,.(4)或或..考点:=x+3的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点,以线段AB为直角边在第二象限内左等腰直角三角形ABC,∠BAC=90°,如图1所示.(1)填空:AB=,BC=.(2)将△ABC绕点B逆时针旋转,①当AC与x轴平行时,则点A的坐标是②当旋转角为90°时,得到△BDE,如图2所示,求过B、D两点直线的函数关系式.③在②的条件下,旋转过程中AC扫过的图形的面积是多少?(3)将△ABC向右平移到△A′B′C′的位置,点C′为直线AB上的一点,请直接写出△ABC扫过的图形的面积.【答案】(1):5;5;(2)①(0,﹣2);②直线BD的解析式为y=﹣x+3;③S=π;(3)△ABC扫过的面积为.【解析】试题分析:(1)根据坐标轴上的点的坐标特征,结合一次函数的解析式求出A、B两点的坐标,利用勾股定理即可解答;(2)①因为B(0,3),所以OB=3,所以AB=5,所以AO=AB-BO=5-3=2,所以A(0,-2);②过点C作CF⊥OA与点F,证明△AOB≌△CFA,得到点C的坐标,求出直线AC解析式,根据AC∥BD,所以直线BD的解析式的k值与直线AC的解析式k值相同,设出解析式,即可解答.:..饭疏食,饮水,曲肱而枕之,乐亦在其中矣。不义而富且贵,于我如浮云。——《论语》③利用旋转的性质进而得出A,B,C对应点位置进而得出答案,再利用以BC为半径90°圆心角的扇形面积减去以AB为半径90°圆心角的扇形面积求出答案;(3)利用平移的性质进而得出△:(1)∵一次函数y=x+3的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点,∴A(-4,0),B(0,3),∴AO=4,BO=3,在Rt△AOB中,AB=,∵等腰直角三角形ABC,∠BAC=90°,∴BC=;(2)①如图1,∵B(0,3),∴OB=3,∵AB=5,∴AO=AB-BO=5-3=2,∴A(0,-2).当在x轴上方时,点A的坐标为(0,8),②如图2,过点C作CF⊥OA与点F,∵△ABC为等腰直角三角形,:..以家为家,以乡为乡,以国为国,以天下为天下。——《管子》∴∠BAC=90°,AB=AC,∴∠BAO+∠CAF=90°,∵∠OBA+∠BAO=90°,∴∠CAF=∠OBA,在△AOB和△CFA中,,∴△AOB≌△CFA(AAS);∴OA=CF=4,OB=AF=3,∴OF=7,CF=4,∴C(-7,4)∵A(-4,0)设直线AC解析式为y=kx+b,将A与C坐标代入得:,解得:,则直线AC解析式为y=x,∵将△ABC绕点B逆时针旋转,当旋转角为90°时,得到△BDE,∴∠ABD=90°,∵∠CAB=90°,∴∠ABD=∠CAB=90°,∴AC∥BD,∴设直线BD的解析式为y=x+b,1把B(0,3)代入解析式的:b=3,1∴直线BD的解析式为y=x+3;③因为旋转过程中AC扫过的图形是以BC为半径90°圆心角的扇形面积减去以AB为半径90°圆心角的扇形面积,所以可得:S=;(3)将△ABC向右平移到△A′B′C′的位置,△ABC扫过的图形是一个平行四边形和三角形:..学而不知道,与不学同;知而不能行,与不知同。——黄睎ABC,如图3:将C点的纵坐标代入一次函数y=x+3,求得C′的横坐标为,平行四边CAA′C′的面积为(7+)×4=,三角形ABC的面积为×5×5=△ABC扫过的面积为:.考点:几何变换综合题.