2025年中考数学圆的综合-经典压轴题含答案.pdf

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】的内容，可以使用淘豆网的站内搜索功能，选择自己适合的文档，以下文字是截取该文章内的部分文字，如需要获得完整电子版，请下载此文档到您的设备，方便您编辑和打印。:..去留无意,闲看庭前花开花落;宠辱不惊,漫随天外云卷云舒。——《幽窗小记》一、圆的综合真题与模拟题分类汇编(难题易错题),AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB,垂足为H,连结AC,过BD上一点E作EG∥AC交CD的延长线于点G,连结AE交CD于点F,且EG=FG,连结CE.(1)求证:∠G=∠CEF;(2)求证:EG是⊙O的切线;3(3)延长AB交GE的延长线于点M,若tanG=4,AH=33,【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)8.【解析】试题分析:(1)由AC∥EG,推出∠G=∠ACG,由AB⊥CD推出AD?AC,推出∠CEF=∠ACD,推出∠G=∠CEF,由此即可证明;(2)欲证明EG是⊙O的切线只要证明EG⊥OE即可;:..人人好公,则天下太平;人人营私,则天下大乱。——刘鹗(3)⊙△OCH中,利用勾股定理求出r,证明AHHC?△AHC∽△MEO,可得EMOE,由此即可解决问题;试题解析:(1)证明:如图1.∵AC∥EG,∴∠G=∠ACG,∵AB⊥CD,∴AD?AC,∴∠CEF=∠ACD,∴∠G=∠CEF,∵∠ECF=∠ECG,∴△ECF∽△GCE.(2)证明:如图2中,连接OE.∵GF=GE,∴∠GFE=∠GEF=∠AFH,∵OA=OE,∴∠OAE=∠OEA,∵∠AFH+∠FAH=90°,∴∠GEF+∠AEO=90°,∴∠GEO=90°,∴GE⊥OE,∴EG是⊙O的切线.(3)解:如图3中,⊙O的半径为r.:..海纳百川,有容乃大;壁立千仞,无欲则刚。——林则徐AH3在Rt△AHC中,tan∠ACH=tan∠G=HC=4,∵AH=33,∴HC=43,在Rt△HOC253中,∵OC=r,OH=r﹣33,HC=43,∴(r?33)2?(43)2?r2,∴r=6,∵GM∥AC,3343?AHHCEM253?∴∠CAH=∠M,∵∠OEM=∠AHC,∴△AHC∽△MEO,∴EMOE,∴6,253∴EM=:本题考查圆综合题、垂径定理、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数、勾股定理等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,灵活运用所学知识解决问题,正确寻找相似三角形,构建方程解决问题吗,,弦AB的长度为m,点C是弦AB所对优弧上的一动点.?1?如图①,若m?5,则?C的度数为______;?2?如图②,若m?6.①求?C的正切值;:..子曰:“知者不惑,仁者不忧,勇者不惧。”——《论语》②若ABC为等腰三角形,?1??2?①?C【答案】30;的正切值为4;②S?【解析】【分析】?1?连接OA,OB,判断出AOB是等边三角形,即可得出结论;?2?①先求出AD?10,再用勾股定理求出BD?8,进而求出tan?ADB,即可得出结论;②分三种情况,利用等腰三角形的性质和垂径定理以及勾股定理即可得出结论.【详解】?1?如图1,连接OB,OA,:..英雄者,胸怀大志,腹有良策,有包藏宇宙之机,吞吐天地之志者也。——《三国演义》?OB?OC?5,AB?m?5,?OB?OC?AB,?AOB是等边三角形,??AOB?60,1??ACB??AOB?302,故答案为30;?2?①如图2,连接AO并延长交O于D,连接BD,:..人人好公,则天下太平;人人营私,则天下大乱。——刘鹗AD为O的直径,?AD?10,?ABD?90,在RtABD中,AB?m?6,根据勾股定理得,BD?8,AB3?tan?ADB??BD4,?C??ADB,3??C的正切值为4;②Ⅰ、当AC?BC时,如图3,连接CO并延长交AB于E,:..丹青不知老将至,贫贱于我如浮云。——杜甫AC?BC,AO?BO,?CE为AB的垂直平分线,?AE?BE?3,在RtAEO中,OA?5,根据勾股定理得,OE?4,?CE?OE?OC?9,11?S?AB?CE??6?9?27ABC22;Ⅱ、当AC?AB?6时,如图4,连接OA交BC于F,AC?AB,OC?OB,:..不飞则已,一飞冲天;不鸣则已,一鸣惊人。——《韩非子》?AO是BC的垂直平分线,过点O作OG?AB于G,11??AOG??AOBAG?AB?32,2,?AOB?2?ACB,??ACF??AOG,AG3sin?AOG??在RtAOG中,AC5,3?sin?ACF?5,3sin?ACF?在RtACF中,5,318?AF?AC?55,24?CF?5,111824432?S?AF?BC????ABC225525;:..饭疏食,饮水,曲肱而枕之,乐亦在其中矣。不义而富且贵,于我如浮云。——《论语》432S?Ⅲ、当BA?BC?6时,如图5,由对称性知,ABC25.【点睛】圆的综合题,主要圆的性质,圆周角定理,垂径定理,等腰三角形的性质,三角形的面积公式,,已知Rt△ABC中,C=90°,O在AC上,以OC为半径作⊙O,切AB于D点,且BC=BD.(1)求证:AB为⊙O的切线;3(2)若BC=6,sinA=5,求⊙O的半径;(3)在(2)的条件下,P点在⊙O上为一动点,求BP的最大值与最小值.:..其身正,不令而行;其身不正,虽令不从。——《论语》【答案】(1)连OD,证明略;(2)半径为3;(3)最大值35+3,35-3.【解析】分析:(1)连接OD,OB,证明△ODB≌△(2)由sinA=5且BC=6可知,AB=10且cosA=5,然后求出OD的长度即可.(3)由三角形的三边关系,可知当连接OB交⊙O于点E、F,当点P分别于点E、F重合时,:(1)如图:连接OD、△ODB和△OCB中::..学而不知道,与不学同;知而不能行,与不知同。——黄睎OD=OC,OB=OB,BC=BD;∴△ODB≌△OCB(SSS).∴∠ODB=∠C=90°.∴AB为⊙O的切线.(2)如图:3CB3?∵sinA=5,∴AB5,∵BC=6,∴AB=10,∵BD=BC=6,∴AD=AB-BD=4,34∵sinA=5,∴cosA=5,:..勿以恶小而为之,勿以善小而不为。——刘备∴OA=5,∴OD=3,即⊙O的半径为:3.(3)如图:连接OB,交⊙O为点E、F,由三角形的三边关系可知:当P点与E点重合时,(2)可知:OD=3,DB=6,∴OB=32?62?35.∴PB=OB-OE=35?,PB去最大值,PB=OP+OB=3+35.:..海纳百川,有容乃大;壁立千仞,无欲则刚。——林则徐点睛:本题属于综合类型题,、勾股定理、,维修人员为更换管道,,若这个输水管道有水部分的水面宽AB=16cm,水最深的地方的高度为4cm,求这个圆形截面的半径.【答案】10cm【解析】分析:先过圆心O作半径CO⊥AB,交AB于点D设半径为r,得出AD、OD的长,在Rt△AOD中,:解:过点O作OC⊥AB于D,交⊙O于C,连接OB,∵OC⊥AB11∴BD=2AB=2×16=8cm由题意可知,CD=4cm:..不飞则已,一飞冲天;不鸣则已,一鸣惊人。——《韩非子》∴设半径为xcm,则OD=(x﹣4)cm在Rt△BOD中,由勾股定理得:OD2+BD2=OB2(x﹣4)2+82=x2解得:x=::此题考查了垂经定理和勾股定理,关键是根据题意画出图形,,理解函数的本质是重要的任务。(1)如图1,在平面直角坐标系中,已知点A、B的坐标分别为A(6,0)、B(0,2),点C(x,y)在线段AB上,计算(x+y)的最大值。小明的想法是:这里有两个变量x、y,若最大值存在,设最大值为m,则有函数关系式y=-x+m,由一次函数的图像可知,当该直线与y轴交点最高时,就是m的最大值,(x+y)的最大值:..以铜为镜,可以正衣冠;以古为镜,可以知兴替;以人为镜,可以明得失。——《旧唐书·魏征列传》为;(2)请你用(1)中小明的想法解决下面问题:如图2,以(1)中的AB为斜边在右上方作Rt△(x,y),求(x+y)的最大值是多少?【答案】(1)6(2)4+25【解析】分析:(1)根据一次函数的性质即可得到结论;(2)根据以AB为斜边在右上方作Rt△ABC,可知点C在以AB为直径的⊙D上运动,根据点C坐标为(x,y),可构造新的函数x+y=m,则函数与y轴交点最高处即为x+y的最大值,此时,直线y=﹣x+m与⊙D相切,再根据圆心点D的坐标,可得C的坐标为(3+5,1+5),代入直线y=﹣x+m,可得m=4+25,即可得出x+y的最大值为4+:(1)6;:..不飞则已,一飞冲天;不鸣则已,一鸣惊人。——《韩非子》(2)由题可得,点C在以AB为直径的⊙D上运动,点C坐标为(x,y),可构造新的函数x+y=m,则函数与y轴交点最高处即为x+y的最大值,此时,直线y=﹣x+m与⊙D相切,交x轴与E,如图所示,连接OD,CD.∵A(6,0)、B(0,2),∴D(3,1),∴OD=12?32=10,∴CD=⊥EF可得,C、D之间水平方向的距离为5,铅垂方向的距离为5,∴C(3+5,1+5),代入直线y=﹣x+m,可得:1+5=﹣(3+5)+m,解得:m=4+25,∴x+y的最大值为4+:4+:本题主要考查了切线的性质,待定系数法求一次函数解析式以及等腰直角三角形的性质的综合应用,解决问题的关键是构造一次函数图象,.(1)如图①,Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,点D是AB边上任意一点,则:..志不强者智不达,言不信者行不果。——墨翟CD的最小值为______.(2)如图②,矩形ABCD中,AB=3,BC=4,点M、点N分别在BD、BC上,求CM+MN的最小值.(3)如图③,矩形ABCD中,AB=3,BC=4,点E是AB边上一点,且AE=2,点F是BC边上的任意一点,把△BEF沿EF翻折,点B的对应点为G,连接AG、CG,四边形AGCD的面积是否存在最小值,若存在,,?【答案】(1)5;(2)CM?MN的最小值为25.(3)2【解析】试题分析:(1)根据两种不同方法求面积公式求解;(2)作C关于BD的对称点C?,过C?作BC的垂线,垂足为N,求C?N的长即可;(3)连接AC,则S?S?S,四AGCDADCACGGB?EB?AB?AE?3?2?1,则点G的轨迹为以E为圆心,,与⊙E交于点G,垂足为M,由AEM∽ACB求得GM的值,再由:..英雄者,胸怀大志,腹有良策,有包藏宇宙之机,吞吐天地之志者也。——《三国演义》S?S?:(1)从C到AB距离最小即为过C作AB的垂线,垂足为D,CD?ABAC?BC??S22ABC,∴AC?BC3?412CD???AB55,(2)作C关于BD的对称点C?,过C?作BC的垂线,垂足为N,且与BD交于M,:..不飞则已,一飞冲天;不鸣则已,一鸣惊人。——《韩非子》则CM?MN的最小值为C?N的长,设CC?与BD交于H,则CH?BD,12CH?∴BMC∽BCD,且5,24CC??∴?C?CB??BDC,5,∴C?NC∽BCD,∴24?4CC??BC965C?N???BD525,96即CM?MN的最小值为25.:..以家为家,以乡为乡,以国为国,以天下为天下。——《管子》(3)连接AC,则S?S?S,四AGCDADCACGGB?EB?AB?AE?3?2?1,∴点G的轨迹为以E为圆心,,与⊙E交于点G,垂足为M,∵AEM∽ACB,EMAE?∴BCAC,∴AE?BC2?48EM???AC55,∴:..学而不知道,与不学同;知而不能行,与不知同。——黄睎83GM?EM?EG??1?55,∴S?S?S四边形AGCDACDACG,113??3?4??5?225,15?2.【点睛】本题考查圆的综合题、最短问题、勾股定理、面积法、两点之间线段最短等知识,解题的关键是利用轴对称解决最值问题,,已知点A(2,0),点B(0,),点O(0,0).△AOB绕着O顺时针旋转,得△A'OB',点A、B旋转后的对应点为A',B',记旋转角为α.:..先天下之忧而忧,后天下之乐而乐。——范仲淹(Ⅰ)如图1,A'B'恰好经过点A时,求此时旋转角α的度数,并求出点B'的坐标;(Ⅱ)如图2,若0°<α<90°,设直线AA'和直线BB'交于点P,求证:AA'⊥BB';(Ⅲ)若0°<α<360°,求(Ⅱ)中的点P纵坐标的最小值(直接写出结果即可).【答案】(Ⅰ)α=60°,B'(3,);(Ⅱ)见解析;(Ⅲ)点P纵坐标的最小值为﹣2.【解析】【分析】(Ⅰ)作辅助线,先根据点A(2,0),点B(0,),确定∠ABO=30°,证明△AOA'是等边三角形,得旋转角α=60°,证明△COB'是30°的直角三角形,可得B'的坐标;(Ⅱ)依据旋转的性质可得∠BOB'=∠AOA'=α,OB=OB',OA=OA',即可得出∠OBB':..为天地立心,为生民立命,为往圣继绝学,为万世开太平。——张载=∠OA'A=(180°﹣α),再根据∠BOA'=90°+α,四边形OBPA'的内角和为360°,即可得到∠BPA'=90°,即AA'⊥BB';(Ⅲ)作AB的中点M(1,),连接MP,依据点P的轨迹为以点M为圆心,以MP=AB=2为半径的圆,即可得到当PM∥y轴时,点P纵坐标的最小值为﹣2.【详解】解:(Ⅰ)如图1,过B'作B'C⊥x轴于C,∵OA=2,OB=2,∠AOB=90°,∴∠ABO=30°,∠BAO=60°,由旋转得:OA=OA',∠A'=∠BAO=60°,∴△OAA'是等边三角形,∴α=∠AOA'=60°,:..海纳百川,有容乃大;壁立千仞,无欲则刚。——林则徐∵OB=OB'=2,∠COB'=90°﹣60°=30°,∴B'C=OB’=,∴OC=3,∴B'(3,),(Ⅱ)证明:如图2,∵∠BOB'=∠AOA'=α,OB=OB',OA=OA',∴∠OBB'=∠OA'A=(180°﹣α),∵∠BOA'=90°+α,四边形OBPA'的内角和为360°,∴∠BPA'=360°﹣(180°﹣α)﹣(90°+α)=90°,即AA'⊥BB';:..人人好公,则天下太平;人人营私,则天下大乱。——刘鹗(Ⅲ)点P纵坐标的最小值为-:如图,作AB的中点M(1,),连接MP,∵∠APB=90°,∴点P的轨迹为以点M为圆心,以MP=AB=2为半径的圆,除去点(2,2),∴当PM⊥x轴时,点P纵坐标的最小值为﹣2.【点睛】本题属于几何变换综合题,主要考查了旋转的性质,含30°角的直角三角形的性质,四边形内角和以及圆周角定理的综合运用,解决问题的关键是判断点P的轨迹为以点M为圆心,以MP为半径的圆.:..先天下之忧而忧,后天下之乐而乐。——:如图,在四边形ABCD中,AD∥,AE与BE分别为∠DAB和∠CBA的平分线.(1)请你添加一个适当的条件,使得四边形ABCD是平行四边形,并证明你的结论;(2)作线段AB的垂直平分线交AB于点O,并以AB为直径作⊙O(要求:尺规作图,保留作图痕迹,不写作法);(3)在(2)的条件下,⊙O交边AD于点F,连接BF,交AE于点G,若AE=4,4sin∠AGF=5,求⊙O的半径.【答案】(1)当AD=BC时,四边形ABCD是平行四边形,理由见解析;(2)作出相应的图形见解析;(3).【解析】分析:(1)添加条件AD=BC,利用一组对边平行且相等的四边形为平行四边形验证即可;(2)作出相应的图形,如图所示;:..穷则独善其身,达则兼善天下。——《孟子》(3)由平行四边形的对边平行得到AD与BC平行,可得同旁内角互补,再由AE与BE为角平分线,可得出AE与BE垂直,利用直径所对的圆周角为直角,得到AF与FB垂直,可得出两锐角互余,根据角平分线性质及等量代换得到∠AGF=∠AEB,根据sin∠AGF的值,确定出sin∠AEB的值,求出AB的长,:(1)当AD=BC时,四边形ABCD是平行四边形,理由为:证明:∵AD∥BC,AD=BC,∴四边形ABCD为平行四边形;故答案为:AD=BC;(2)作出相应的图形,如图所示;(3)∵AD∥BC,∴∠DAB+∠CBA=180°,∵AE与BE分别为∠DAB与∠CBA的平分线,:..饭疏食,饮水,曲肱而枕之,乐亦在其中矣。不义而富且贵,于我如浮云。——《论语》∴∠EAB+∠EBA=90°,∴∠AEB=90°,∵AB为圆O的直径,点F在圆O上,∴∠AFB=90°,∴∠FAG+∠FGA=90°,∵AE平分∠DAB,∴∠FAG=∠EAB,∴∠AGF=∠ABE,4AE?∴sin∠ABE=sin∠AGF=5AB,∵AE=4,∴AB=5,:此题属于圆综合题,涉及的知识有:圆周角定理,平行四边形的判定与性质,:..丹青不知老将至,贫贱于我如浮云。——杜甫角平分线性质,以及锐角三角函数定义,,对于点P和图形W,如果以P为端点的任意一条射线与图形W最多只有一个公共点,那么称点P独立于图形W.(1)如图1,已知点A(-2,0),以原点O为圆心,(0,4),P(0,1),P(0,-3),P(4,0)这四个点中,独立1234于AB的点是;(2)如图2,已知点C(-3,0),D(0,3),E(3,0),点P是直线l:y=2x+-DE,求点P的横坐标x的取值范围;p(3)如图3,⊙H是以点H(0,4)为圆心,(0,t)在y轴上且t>-3,以点T为中心的正方形KLMN的顶点K的坐标为(0,t+3),⊙H上的所有点都独立于图形W,直接写出t的取值范围.:..海纳百川,有容乃大;壁立千仞,无欲则刚。——林则徐5【答案】(1)P,P;(2)x<-5或x>-3.(3)-3<t<1-2或1+2<t<23PP7-2.【解析】【分析】(1)根据点P独立于图形W的定义即可判断;(2)求出直线DE,直线CD与直线y=2x+8的交点坐标即可判断;(3)求出三种特殊位置时t的值,结合图象即可解决问题.【详解】(1)由题意可知:在P(0,4),P(0,1),P(0,-3),P(4,0)这四个1234点中,独立于AB的点是P,(2)∵C(-3,0),D(0,3),E(3,0),∴直线CD的解析式为y=x+3,直线DE的解析式为y=-x+3,?y=2x?8?x=?5??由?y=x?3,解得?y=?2,可得直线l与直线CD的交点的横坐标为-5,:..海纳百川,有容乃大;壁立千仞,无欲则刚。——林则徐?5x=???3??y=2x?814?5?y=由?y=?x?3,解得????3,可得直线l与直线DE的交点的横坐标为-3,5∴满足条件的点P的横坐标x的取值范围为:x<-5或x>-(3)如图3-1中,当直线KN与⊙H相切于点E时,连接EH,则EH=EK=1,HK=2,∴OT=KT+HK-OH=3+2-4=2-1,∴T(0,1-2),此时t=1-2,∴当-3<t<1-2时,⊙-2中,当线段KN与⊙H相切于点E时,连接EH.:..人人好公,则天下太平;人人营私,则天下大乱。——刘鹗OT=OH+KH-KT=4+2-3=1+2,∴T(0,1+2),此时t=1+2,如图3-3中,当线段MN与⊙H相切于点E时,=OM+TM=4-2+3=7-2,:..天将降大任于斯人也,必先苦其心志,劳其筋骨,饿其体肤,空乏其身,行拂乱其所为。——《孟子》∴T(0,7-2),此时t=7-2,∴当1+2<t<7-2时,⊙,满足条件的t的值为-3<t<1-2或1+2<t<7-2.【点睛】本题属于圆综合题,考查了切线的性质,一次函数的应用,点P独立于图形W的定义等知识,解题的关键是理解题意,灵活运用所学知识解决问题,,已知△ABC内接于⊙O,BC交直径AD于点E,过点C作AD的垂线交AB的延长线于点G,.(1)若∠G=48°,求∠ACB的度数;(2)若AB=AE,求证:∠BAD=∠COF;(3)在(2)的条件下,连接OB,设△AOB的面积为S,△∠CAF=2,:..英雄者,胸怀大志,腹有良策,有包藏宇宙之机,吞吐天地之志者也。——《三国演义》3【答案】(1)48°(2)证明见解析(3)4【解析】【分析】(1)连接CD,根据圆周角定理和垂直的定义可得结论;(2)先根据等腰三角形的性质得:∠ABE=∠AEB,再证明∠BCG=∠DAC,可得CD?PB?PD,则所对的圆周角相等,根据同弧所对的圆周角和圆心角的关系可得结论;(3)过O作OG⊥AB于G,证明△COF≌△OAG,则OG=CF=x,AG=OF,设3OF=a,则OA=OC=2x-a,根据勾股定理列方程得:(2x-a)2=x2+a2,则a=4x,代入面积公式可得结论.【详解】:..饭疏食,饮水,曲肱而枕之,乐亦在其中矣。不义而富且贵,于我如浮云。——《论语》(1)连接CD,∵AD是⊙O的直径,∴∠ACD=90°,∴∠ACB+∠BCD=90°,∵AD⊥CG,∴∠AFG=∠G+∠BAD=90°,∵∠BAD=∠BCD,∴∠ACB=∠G=48°;(2)∵AB=AE,∴∠ABE=∠AEB,∵∠ABC=∠G+∠BCG,∠AEB=∠ACB+∠DAC,由(1)得:∠G=∠ACB,∴∠BCG=∠DAC,:..饭疏食,饮水,曲肱而枕之,乐亦在其中矣。不义而富且贵,于我如浮云。——《论语》∴CD?PB,∵AD是⊙O的直径,AD⊥PC,∴CD?PD,∴CD?PB?PD,∴∠BAD=2∠DAC,∵∠COF=2∠DAC,∴∠BAD=∠COF;(3)过O作OG⊥AB于G,设CF=x,1CF∵tan∠CAF=2=AF,∴AF=2x,∵OC=OA,由(2)得:∠COF=∠OAG,∵∠OFC=∠AGO=90°,∴△COF≌△OAG,:..好学近乎知,力行近乎仁,知耻近乎勇。——《中庸》∴OG=CF=x,AG=OF,设OF=a,则OA=OC=2x﹣a,Rt△COF中,CO2=CF2+OF2,∴(2x﹣a)2=x2+a2,3a=4x,3∴OF=AG=4x,∵OA=OB,OG⊥AB,3∴AB=2AG=2x,∴13AB·OGx·xS2231???S1x·2x42CF·AF2.:..穷则独善其身,达则兼善天下。——《孟子》【点睛】圆的综合题,考查了三角形的面积、垂径定理、角平分线的性质、三角形全等的性质和判定以及解直角三角形,解题的关键是:(1)根据圆周角定理找出∠ACB+∠BCD=90°;(2)根据外角的性质和圆的性质得:CD?PB?PD;(3)利用三角函数设未知数,根据勾股定理列方程解决问题.