2025年全国新高考I卷数学试题(含答案解析).pdf

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】的内容，可以使用淘豆网的站内搜索功能，选择自己适合的文档，以下文字是截取该文章内的部分文字，如需要获得完整电子版，请下载此文档到您的设备，方便您编辑和打印。:..英雄者,胸怀大志,腹有良策,有包藏宇宙之机,吞吐天地之志者也。——《三国演义》2025年全国新高考I卷数学试题学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________一、?{x∣x?4},N?{x∣3x?1},则MN?()???1????1??x?2B.?x?x?2??x?16D.?x?x?16??3??3?(1?z)?1,则z?z?()A.?2B.?,点D在边AB上,BD??m,CD?n,则CB?()?2nB.?2m???,,;,,将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台,,增加的水量约为(7?)()????,则这2个数互质的概率为()???2?(x)?sin?x??b(??0)?T??,且???4?3?3?????y?f(x)的图象关于点?,2?中心对称,则f???()?2??2??,b?,c??,则()?b??b??a??c?,?,且3?l?33,则该正四棱锥体积的取值范围是()?81??2781??2764?,B.,C.,D.[18,27]???????4??44??43?二、?ABCD,则()??1111试卷第1页,共4页:..非淡泊无以明志,非宁静无以致远。——??(x)?x3?x?1,则()(x)(x)(0,1)是曲线y?f(x)?2x是曲线y?f(x),点A(1,1)在抛物线C:x2?2py(p?0)上,过点B(0,?1)的直线交C于P,Q两点,则()???OQ?|OA2D|BP|?|BQ|?|BA|2.?3?(x)及其导函数f?(x)的定义域均为R,记g(x)?f?(x),若f??2x?,?2?g(2?x)均为偶函数,则()?1?(0)?????(?1)?f(4)(?1)?g(2)?2?三、填空题?y?13.?1??(x?y)8的展开式中x2y6的系数为________________(用数字作答).?x??y2?1和(x?3)2?(y?4)2??(x?a)ex有两条过坐标原点的切线,:??1(a?b?0),C的上顶点为A,两个焦点为F,F,离心率a2b2121FAF|DE|?,E两点,,、解答题?S??a?的前n项和,已知a?1,n是公差为的等差数列.??nn1a3??n(1)求?a?的通项公式;n111(2)证明:????,B,C的对边分别为a,b,c,已知?.1?sinA1?cos2B试卷第2页,共4页:..去留无意,闲看庭前花开花落;宠辱不惊,漫随天外云卷云舒。——《幽窗小记》2?(1)若C?,求B;3a2?b2(2),直三棱柱ABC?ABC的体积为4,(1)求A到平面ABC的距离;1(2)设D为AC的中点,AA?AB,平面ABC?平面ABBA,求二面角A?BD?(卫生习惯分为良好和不够良好两类)的关系,在已患该疾病的病例中随机调查了100例(称为病例组),同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人(称为对照组),得到如下数据:不够良好良好病例组4060对照组1090(1)能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异?(2)从该地的人群中任选一人,A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”,B表示事件P(B|A)P(B|A)“选到的人患有该疾病”.与的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风P(B|A)P(B|A)险程度的一项度量指标,(A|B)P(A|B)(ⅰ)证明:R??;P(A|B)P(A|B)(ⅰ)利用该调查数据,给出P(A|B),P(A|B)的估计值,并利用(ⅰ),共4页:..操千曲尔后晓声,观千剑尔后识器。——刘勰n(ad?bc)2附K2?,(a?b)(c?d)(a?c)(b?d)?2?PK?(2,1)在双曲线C:??1(a?1)上,直线l交C于P,Q两点,直线a2a2?1AP,AQ的斜率之和为0.(1)求l的斜率;(2)若tan?PAQ?22,求△(x)?ex?ax和g(x)?ax?lnx有相同的最小值.(1)求a;(2)证明:存在直线y?b,其与两条曲线y?f(x)和y?g(x)共有三个不同的交点,,共4页:..学而不知道,与不学同;知而不能行,与不知同。——黄睎参考答案:【解析】【分析】求出集合M,N后可求M?N.【详解】1?1?M?{x∣0?x?16},N?{x∣x?},故MN??x?x?16?,3?3?故选:【解析】【分析】利用复数的除法可求z,从而可求z?z.【详解】1i由题设有1?z????i,故z?1+i,故z?z??1?i???1?i??2,ii2故选:【解析】【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出.【详解】??因为点D在边AB上,BD?2DA,所以BD?2DA,即CD?CB?2CA?CD,所以CB?3CD?2CA?3n?2m??2m?:【解析】【分析】根据题意只要求出棱台的高,即可利用棱台的体积公式求出.【详解】答案第1页,共20页:..博学之,审问之,慎思之,明辨之,笃行之。——《礼记》依题意可知棱台的高为MN???9(m),??140?106m2,下底面积S???180?106m2,1??1??ⅰV?hS?S??SS???9?140?106?180?106?140?180?101233?????3?320?607?106?96?18??107??109??109(m3).故选:【解析】【分析】由古典概型概率公式结合组合、列举法即可得解.【详解】从2至8的7个整数中随机取2个不同的数,共有C2?21种不同的取法,7若两数不互质,不同的取法有:?2,4?,?2,6?,?2,8?,?3,6?,?4,6?,?4,8?,?6,8?,共7种,21?72故所求概率P??.213故选:【解析】【分析】由三角函数的图象与性质可求得参数,进而可得函数解析式,代入即可得解.【详解】2?2?2?由函数的最小正周期T满足?T??,得???,解得2???3,33??3??3??又因为函数图象关于点?,2?对称,所以???k?,k?Z,且b?2,?2?24答案第2页,共20页:..老当益壮,宁移白首之心;穷且益坚,不坠青云之志。——唐·王勃125?5??所以????k,k?Z,所以??,f(x)?sin?x???2,632?24?????5??所以f???sin?????2?1.?2??44?故选:【解析】【分析】构造函数f(x)?ln(1?x)?x,导数判断其单调性,由此确定a,b,c的大小.【详解】1x设f(x)?ln(1?x)?x(x??1),因为f?(x)??1??,1?x1?x当x?(?1,0)时,f?(x)?0,当x?(0,??)时f?(x)?0,所以函数f(x)?ln(1?x)?x在(0,??)单调递减,在(?1,0)上单调递增,1101110所以f()?f(0)?0,所以ln??0,故?ln??,即b?c,9999919191111f(?)?f(0)?0ln+?0?所以,所以,故?e10,所以e10?,**********故a?b,?2?x1x?1e?1设g(x)?xex?ln(1?x)(0?x?1),则g?(x)??x+1?ex??,x?1x?1令h(x)?ex(x2?1)+1,h?(x)?ex(x2?2x?1),当0?x?2?1时,h?(x)?0,函数h(x)?ex(x2?1)+1单调递减,当2?1?x?1时,h?(x)?0,函数h(x)?ex(x2?1)+1单调递增,又h(0)?0,所以当0?x?2?1时,h(x)?0,所以当0?x?2?1时,g?(x)?0,函数g(x)?xex?ln(1?x)单调递增,所以g()?g(0)?0,??,所以a?c故选:【解析】【分析】答案第3页,共20页:..天行健,君子以自强不息。地势坤,君子以厚德载物。——《周易》设正四棱锥的高为h,由球的截面性质列方程求出正四棱锥的底面边长与高的关系,由此确定正四棱锥体积的取值范围.【详解】ⅰ球的体积为36?,所以球的半径R?3,设正四棱锥的底面边长为2a,高为h,则l2?2a2?h2,32?2a2?(3?h)2,所以6h?l2,2a2?l2?h2112l4l21?l6?所以正四棱锥的体积V?Sh??4a2?h??(l2?)?=?l4??,3333669?36?1?l5?1?24?l2?所以V???4l3???l3??,9?6?9?6?当3?l?26时,V??0,当26?l?33时,V??0,64所以当l?26时,正四棱锥的体积V取最大值,最大值为,32781又l?3时,V?,l?33时,V?,4427所以正四棱锥的体积V的最小值为,4?2764?所以该正四棱锥体积的取值范围是,.???43?故选:【解析】【分析】数形结合,依次对所给选项进行判断即可.【详解】如图,连接BC、BC,因为DA//BC,所以直线BC与BC所成的角即为直线BC与1111111DA所成的角,1为正方形,则BC?BC,故直线BC与DA所成的角为90?,A正确;111111答案第4页,共20页:..太上有立德,其次有立功,其次有立言,虽久不废,此谓不朽。——《左传》连接AC,因为AB?,BC?,则AB?BC,**********因为BC?BC,ABBC?B,所以BC?平面ABC,111111111又AC?平面ABC,所以BC?CA,故B正确;11111连接AC,设ACBD?O,连接BO,111111因为BB?平面ABCD,CO?平面ABCD,则CO?BB,1**********因为CO?BD,BD?BB?B,所以CO?平面BBDD,1111111111所以?CBO为直线BC与平面BBDD所成的角,11112CO1设正方体棱长为1,则CO?,BC?2,sin?CBO?1?,111BC221所以,直线BC与平面BBDD所成的角为30,故C错误;111?平面ABCD,所以?CBC为直线BC与平面ABCD所成的角,易得111?CBC?45,:【解析】【分析】利用极值点的定义可判断A,结合f(x)的单调性、极值可判断B,利用平移可判断C;利用导数的几何意义判断D.【详解】????33由题,f?x?3x2?1,令f?x?0得x?或x??,33答案第5页,共20页:..非淡泊无以明志,非宁静无以致远。——诸葛亮33令f?(x)?0得??x?,333333所以f(x)在(?,)上单调递减,在(??,?),(,??)上单调递增,33333所以x??是极值点,故A正确;3323323??因f(?)?1??0,f()?1??0,f?2??5?0,3939?3?所以,函数f?x?在???,??上有一个零点,?3???3?3??3?当时,f?x??f?0,即函数f?x?在,+?上无零点,x?????????????????3?3??3?综上所述,函数f(x)有一个零点,故B错误;令h(x)?x3?x,该函数的定义域为R,h??x????x?3???x???x3?x??h?x?,则h(x)是奇函数,(0,0)是h(x)的对称中心,将h(x)的图象向上移动一个单位得到f(x)的图象,所以点(0,1)是曲线y?f(x)的对称中心,故C正确;令f??x??3x2?1?2,可得x??1,又f(1)?f??1??1,当切点为(1,1)时,切线方程为y?2x?1,当切点为(?1,1)时,切线方程为y?2x?3,:【解析】【分析】求出抛物线方程可判断A,联立AB与抛物线的方程求交点可判断B,利用距离公式及弦长公式可判断C、D.【详解】1将点A的代入抛物线方程得1?2p,所以抛物线方程为x2?y,故准线方程为y??,A4错误;1?(?1)k??2,所以直线AB的方程为y?2x?1,AB1?0答案第6页,共20页:..吾日三省乎吾身。为人谋而不忠乎?与朋友交而不信乎?传不习乎?——《论语》?y?2x?1联立?,可得x2?2x?1?0,解得x?1,故B正确;?x2?y设过的直线为l,若直线l与y轴重合,则直线l与抛物线C只有一个交点,B所以,直线l的斜率存在,设其方程为y?kx?1,P(x,y),Q(x,y),1122?y?kx?1联立?,得x2?kx?1?0,?x2?y?Δ?k2?4?0?所以?x?x?k,所以k?2或k??2,yy?(xx)2?1,121212?xx?1?12又|OP|?x2?y2?y?y2,|OQ|?x2?y2?y?y2,11112222所以|OP|?|OQ|?yy(1?y)(1?y)?kx?kx?|k|?2?|OA|2,故C正确;121212因为|BP|?1?k2|x|,|BQ|?1?k2|x|,12所以|BP|?|BQ|?(1?k2)|xx|?1?k2?5,而|BA|2?5,:【解析】【分析】转化题设条件为函数的对称性,结合原函数与导函数图象的关系,根据函数的性质逐项判断即可得解.【详解】?3?因为f??2x?,g(2?x)均为偶函数,?2??3??3??3??3?所以f??2x??f??2x?即f??x??f??x?,g(2?x)?g(2?x),?2??2??2??2?f?3?x??f?x?g(4?x)?g(x)f(?1)?f(4)C所以,,则,故正确;3函数f(x),g(x)的图象分别关于直线x?,x?2对称,2又g(x)?f?(x),且函数f(x)可导,?3?所以g?0,g?3?x???g?x?,???2?答案第7页,共20页:..子曰:“知者不惑,仁者不忧,勇者不惧。”——《论语》所以g(4?x)?g(x)??g?3?x?,所以g(x?2)??g(x?1)?g?x?,?1??3?所以g??g?0,g??1??g?1???g?2?,故B正确,D错误;?????2??2?若函数f(x)满足题设条件,则函数f(x)?C(C为常数)也满足题设条件,所以无法确定f(x)的函数值,:BC.【点睛】关键点点睛:解决本题的关键是转化题干条件为抽象函数的性质,准确把握原函数与导函数图象间的关系,准确把握函数的性质(必要时结合图象).-28【解析】【分析】?y?y1??x?y?8?x?y?8??x?y?8.??可化为,结合二项式展开式的通项公式求解?x?x【详解】?y?y1??x?y?8=?x?y?8??x?y?8因为??,?x?x?y?8y所以1??x?y?的展开式中含x2y6的项为C6x2y6?C5x3y5??28x2y6,???x?8x8?y?1??x?y?8x2y6??的展开式中的系数为-28?x?故答案为:-??x?或y?x?或x??1442424【解析】【分析】先判断两圆位置关系,分情况讨论即可.【详解】圆x2?y2?1的圆心为O?0,0?,半径为1,圆(x?3)2?(y?4)2?16的圆心O为(3,4),半径1为4,两圆圆心距为32?42?5,等于两圆半径之和,故两圆外切,如图,答案第8页,共20页:..以家为家,以乡为乡,以国为国,以天下为天下。——《管子》433当切线为l时,因为k?,所以k??,设方程为y??x?t(t?0)OO13l44|t|d??1535O到l的距离9,解得t?,所以l的方程为y??x?,1?44416当切线为m时,设直线方程为kx?y?p?0,其中p?0,k?0,?p?7??1k???1?k2????72524由题意?,解得?,y?x?3k?4?p252424??p??4?????24?1?k2当切线为n时,易知切线方程为x??1,35725故答案为:y??x?或y?x?或x?????,?4???0,???.【解析】【分析】设出切点横坐标x,利用导数的几何意义求得切线方程,根据切线经过原点得到关于x的00方程,根据此方程应有两个不同的实数根,求得a的取值范围.【详解】ⅰy?(x?a)ex,ⅰy??(x?1?a)ex,设切点为?x,y?,则y??x?a?ex,切线斜率k??x?1?a?ex,0000000答案第9页,共20页:..穷则独善其身,达则兼善天下。——《孟子》切线方程为:y??x?a?ex??x?1?a?ex?x?x?,00000ⅰ切线过原点,ⅰ??x?a?ex??x?1?a?ex??x?,00000整理得:x2?ax?a?0,00ⅰ切线有两条,ⅰ??a2?4a?0,解得a4或a?0,ⅰa的取值范围是???,?4??0,???,故答案为:???,?4??0,???【解析】【分析】x2y2利用离心率得到椭圆的方程为??1,即3x2?4y2?12c2?0,根据离心率得到直线4c23c2AF的斜率,进而利用直线的垂直关系得到直线DE的斜率,写出直线DE的方程:2x?3y?c,代入椭圆方程3x2?4y2?12c2?0,整理化简得到:13y2?63cy?9c2?0,利用1313弦长公式求得c?,得a?2c?,根据对称性将ADE的周长转化为△FDE的周长,842利用椭圆的定义得到周长为4a?13.【详解】c1ⅰ椭圆的离心率为e??,ⅰa?2c,ⅰb2?a2?c2?3c2,ⅰ椭圆的方程为a2x2y2??1,即3x2?4y2?12c2?0,不妨设左焦点为F,右焦点为F,如图所示,ⅰ4c23c212?AF?a,OF?c,a?2c,ⅰ?AFO?,ⅰ△AFF为正三角形,ⅰ过F且垂直于AF的直222312123线与C交于D,E两点,DE为线段AF的垂直平分线,ⅰ直线DE的斜率为,斜率倒23数为3,直线DE的方程:x?3y?c,代入椭圆方程3x2?4y2?12c2?0,整理化简得到:13y2?63cy?9c2?0,??2判别式??63c?4?13?9c2?62?16?c2,??2?cⅰCD?1?3y?y?2??2?6?4??6,1213131313ⅰc?,得a?2c?,84答案第10页,共20页:..太上有立德,其次有立功,其次有立言,虽久不废,此谓不朽。——《左传》ⅰDE为线段AF的垂直平分线,根据对称性,AD?DF,AE?EF,ⅰADE的周长等于222△FDE的周长,利用椭圆的定义得到△FDE周长为22DF?EF?DE?DF?EF?DF?EF?DF?DF?EF?EF?2a?2a?4a?:?n?1?17.(1)a?n2(2)见解析【解析】【分析】S1n?2?n?2?a1n?1??n?1??n()利用等差数列的通项公式求得,得到S?,利用和a33n3n?n?2?a?n?1?aan?1与项的关系得到当n?2时,a?S?S?n?n?1,进而得:n?,利nnn?133an?1n?1n?n?1?n?n?1?n?1?a?用累乘法求得a?,检验对于也成立,得到的通项公式a?;n2nn2111?1?(2)由(1)的结论,利用裂项求和法得到????2?1??,?n?1?12n(1)Sⅰa?1,ⅰS?a?1,ⅰ1?1,111a1?S?1又ⅰ?n?是公差为的等差数列,?a?3nS1n?2?n?2?an?1??n?1??ⅰ,ⅰS?n,a33n3n答案第11页,共20页:..吾日三省乎吾身。为人谋而不忠乎?与朋友交而不信乎?传不习乎?——《论语》?n?1?aⅰ当n?2时,S?n?1,n?13?n?2?a?n?1?aⅰa?S?S?n?n?1,nnn?133?n?1?a??n?1?a,整理得:nn?1an?1即n?,an?1n?1aaaaⅰa?a?2?3???n?1?nn1aaaa12n?2n?134nn?1n?n?1??1???????,23n?2n?12显然对于n?1也成立,n?n?1?ⅰ?a?的通项公式a?;nn2(2)12?11???2???,an?n?1??nn?1?n111??1??11??11???1?ⅰ????21??????21??2??????????aaa??2??23??nn?1???n?1?12nπ18.(1);6(2)42?5.【解析】【分析】cosAsin2B(1)根据二倍角公式以及两角差的余弦公式可将?化成1?sinA1?cos2Bπcos?A?B??sinB,再结合0?B?,即可求出;2ππa2?b2(2)由(1)知,C??B,A??2B,再利用正弦定理以及二倍角公式将化22c22成4cos2B??5,(1)cosAsin2B2sinBcosBsinB因为???,即1?sinA1?cos2B2cos2BcosB1sinB?cosAcosB?sinAsinB?cos?A?B???cosC?,2答案第12页,共20页:..饭疏食,饮水,曲肱而枕之,乐亦在其中矣。不义而富且贵,于我如浮云。——《论语》ππ而0?B?,所以B?;26(2)ππ由(1)知,sinB??cosC?0,所以?C?π,0?B?,22?π?而sinB??cosC?sin?C??,?2?ππ所以C??B,即有A???b2sin2A?sin2Bcos22B?1?cos2B所以??os2B?2?222cosB?1?1?cosB2??4cos2B??5?28?5?42??b2当且仅当cos2B?时取等号,所以的最小值为42?.(1)23(2)2【解析】【分析】(1)由等体积法运算即可得解;(2)由面面垂直的性质及判定可得BC?平面ABBA,建立空间直角坐标系,利用空间向11量法即可得解.(1)在直三棱柱ABC?ABC中,设点A到平面ABC的距离为h,1111122114则V?S?h?h?V?S?AA?V?,A?A1BC3A1BC3A1?ABC3ABC13ABC?A1B1C13解得h?2,所以点A到平面ABC的距离为2;1(2)取AB的中点E,连接AE,如图,因为AA?AB,所以AE?AB,111又平面ABC?平面ABBA,平面ABC平面ABBA?AB,1111111且AE?平面ABBA,所以AE⊥平面ABC,111答案第13页,共20页:..志不强者智不达,言不信者行不果。——墨翟在直三棱柱ABC?ABC中,BB?平面ABC,1111由BC?平面ABC,BC?平面ABC可得AE?BC,BB?BC,11又AE,BB?平面ABBA且相交,所以BC?平面ABBA,11111所以BC,BA,BB两两垂直,以B为原点,建立空间直角坐标系,如图,1由(1)得AE?2,所以AA?AB?2,AB?22,所以BC?2,11则A?0,2,0?,A?0,2,2?,B?0,0,0?,C?2,0,0?,所以AC的中点D?1,1,1?,11则BD??1,1,1?,BA??0,2,0?,BC??2,0,0?,????m?BD?x?y?z?0设平面ABD的一个法向量m??x,y,z?,则?,????m?BA?2y?0可取m??1,0,?1?,????m?BD?a?b?c?0设平面BDC的一个法向量n??a,b,c?,则?,????m?BC?2a?0可取n??0,1,?1?,m?n11则cosm,n???,m?n2?22?1?23所以二面角A?BD?C的正弦值为1??.???2?2答案第14页,共20页:..海纳百川,有容乃大;壁立千仞,无欲则刚。——林则徐20.(1)答案见解析(2)(i)证明见解析;(ii)R?6;【解析】【分析】(1)由所给数据结合公式求出K2的值,将其与临界值比较大小,由此确定是否有99%的把握认为患该疾病群体与未黄该疾病群体的卫生习惯有差异;(2)(i)根据定义结合条件概率公式即可完成证明;(ii)根据(i)结合已知数据求R.(1)n(ad?bc)2200(40?90?60?10)2由已知K2?=?24,(a?b)(c?d)(a?c)(b?d)50?150?100?100又P(K2?)=,24?,所以有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异.(2)P(B|A)P(B|A)P(AB)P(A)P(AB)P(A)(i)因为R??=???,P(B|A)P(B|A)P(A)P(AB)P(A)P(AB)P(AB)P(B)P(AB)P(B)所以R????P(B)P(AB)P(B)P(AB)P(A|B)P(A|B)所以R??,P(A|B)P(A|B)(ii)4010由已知P(A|B)?,P(A|B)?,1001006090又P(A|B)?,P(A|B)?,100100P(A|B)P(A|B)所以R??=6P(A|B)P(A|B)21.(1)?1;162(2).9【解析】【分析】(1)由点A(2,1)在双曲线上可求出a,易知直线l的斜率存在,设l:y?kx?m,P?x,y?,Q?x,y?,再根据k?k?0,即可解出l的斜率;1122APBP(2)根据直线AP,AQ的斜率之和为0可知直线AP,AQ的倾斜角互补,再根据答案第15页,共20页:..操千曲尔后晓声,观千剑尔后识器。——刘勰tan?PAQ?22即可求出直线AP,AQ的斜率,再分别联立直线AP,AQ与双曲线方程求出点P,Q的坐标,即可得到直线PQ的方程以及PQ的长,由点到直线的距离公式求出点