2025年空间向量的数量积运算》教学设计.pdf

该【2025年空间向量的数量积运算》教学设计 】是由【小屁孩】上传分享，文档一共【16】页，该文档可以免费在线阅读，需要了解更多关于【2025年空间向量的数量积运算》教学设计 】的内容，可以使用淘豆网的站内搜索功能，选择自己适合的文档，以下文字是截取该文章内的部分文字，如需要获得完整电子版，请下载此文档到您的设备，方便您编辑和打印。:..百川东到海,何时复西归?少壮不努力,老大徒伤悲。——汉乐府空间向量的数量积运算》,引入了空间向量的夹角和向量长度的概念和表示方法,介绍了空间两个向量数量积的概念、计算方法、性质和运算律,并举例说明利用向量的数量积解决问题的基本方法。传统的解立体几何题需要有较强的空间想象能力、逻辑推理能力以及作图能力,学生往往由于这些能力的不足造成解题困难。用向量处理立体几何问题,可使学生克服空间想象力的障碍而顺利解题,为研究立体几何提供了新的思想方法和工具,具有相当大的优越性;而且,在丰富学生思维结构的同时,应用数学的能力也得到了锻炼和提高。:..勿以恶小而为之,勿以善小而不为。——刘备课时分配:1课时教学目标知识与技能:;、性质和计算方法及运算律;,会用它解决立体几何中的一些简单问题。过程与方法:,经历向量的数量积运算由平面向空间推广的过程;。情感、态度与价值观::..百川东到海,何时复西归?少壮不努力,老大徒伤悲。——、转化思想,培养探究、研讨、综合自学应用能力;。重点难点教学重点:、几何意义;。教学难点:,思想方法的理解和应用;。教学过程引入新课:..为天地立心,为生民立命,为往圣继绝学,为万世开太平。——张载提出问题:已知在正方体ABCD—A′B′C′D′中,E为AA′的中点,点F在线段D′C′上,D′F=FC′,如何确定BE,FD的夹角?活动设计:教师设问:平面向量的夹角问题是如何求得的?是否可将平面内求得两向量的夹角公式推广到空间?公式的形式是否会有所变化?学生活动:回顾平面向量数量积、向量夹角公式;类比猜想空间向量夹角公式的形式。设计意图:问题的给出,一时之间可能会使学生感到突然,但预计应该会联想到平面向量的夹角公式,由此作一番类比猜想,起到温故知新的作用。探究新知:..丹青不知老将至,贫贱于我如浮云。——杜甫提出问题1:空间向量的夹角应该怎样定义,怎样表示?夹角的取值范围是什么,怎样定义向量垂直?在本节课中,我们将研究空间向量的数量积运算。首先,我们需要了解空间向量的夹角概念及表示方法。空间向量的夹角是指两个向量之间的夹角,可以用向量的数量积公式来表示。夹角的取值范围是[],当且仅当两个向量共线时夹角为0或π,当两个向量垂直时夹角为π/,我们还需要了解向量垂直的定义,即两个向量的数量积为0时,它们是垂直的。接下来,我们将研究两个向量数量积的概念、计算方法、性质和运算律。两个向量数量积的计算方法是将两个向量的对应分量相乘再相加。它具有交换律、结合律和分配律等运算律。同时,我们还需要了解两个向量数量积的几何意义,即它等于其中一个向量在另一个向量方向上的投影长度与这个向量的长度的乘积。这个几何意义在解决立体几何问题时非常有用。最后,我们将举例说明利用向量的数量积解决问题的基本方法。例如,在正方体ABCD—A′B′C′D′中,已知E为AA′的:..操千曲尔后晓声,观千剑尔后识器。——刘勰中点,点F在线段D′C′上,D′F=FC′,则可用向量的数量积来求解BE,FD的夹角。总结归纳本节课我们研究了空间向量的数量积运算,包括空间向量的夹角概念及表示方法、两个向量数量积的概念、计算方法、性质和运算律,以及两个向量数量积在解决立体几何问题中的应用。通过本节课的研究,我们可以更好地理解空间向量的运算和应用,提高解决立体几何问题的能力。ActivityDesign:XXXn。nmethod。andrangeofvaluesofplanarvectorangles。andmakeanalogies。studentsrecallthen。nmethod。andrangeofvaluesofplanarvectorangles。andmakeXXX。ActivityResults::Giventwonon-zerovectorsaandbinspace。takeanypointOinspaceandconstructOA=a。OB=b。Then。∠AOBiscalledtheangleeenvectorsaandb。denotedas〈a。b〉。:..穷则独善其身,达则兼善天下。——《孟子》:≤〈a。b〉≤π。and〈a。b〉=〈b。a〉。Whenaandbarecollinearandinthesamen。〈a。b〉=。〈a。b〉=π。:If〈a。b〉=。XXXasa⊥b。Designn:RecallthenandrangeofvaluesofplanarXXXandrangeofvaluesofXXXXXXplanarvectors。hescalarproductnofspatialvectorsandpointoutwhatnlawsitsatisfies。ActivityDesign:Studentsspeakfreely。andtheteacherwritesontheboardandasksdifferentstudentstosupplement。ActivityResults:-zerovectorsaandb。|a||b|cos〈a。b〉iscalledthescalarproductofaandb。denotedasa·b。thatis。a·b=|a||b|cos〈a。b〉。:..臣心一片磁针石,不指南方不肯休。——。:1)(λa)·b=λ(a·b)。2)a·b=b·a。3)(a+b)·c=a·c+b·c。Designn:XXX。UnderstandingNewKnowledgeProposen1:Fornon-zerovectorsa。b。andc。doesa·b·c=a·(b·c)hold。Cana·b=b·cleadtoa=c。ActivityDesign:Studentsthinkontheirownfirst。thendiscussingroups。XXX。ActivityResults:·bisarealnumber。a·b·cisavectorcollinearwithc。Similarly。a·(b·c)isavectorcollinearwitha。Therefore。a·b·c≠a·(b·c)。thatis。scalarproductndoesnotXXX。:..士不可以不弘毅,任重而道远。仁以为己任,不亦重乎?死而后已,不亦远乎?——《论语》·b=b·c。(a-c)·b=。(a-c)⊥b。Itcannotbeconcludedthata=c。soscalarproductndoesnotXXX。Designn:XXXXXX2:CanthescalarproductnjudgetheparallelorXXXeentwovectors。Canitbeusedtocalculateangles。ActivityDesign:Studentsthinkontheirownfirst。thendiscussingroups。XXX。ActivityResults:·b=|a||b|。thenaandbareparallel。ifa·b=-|a||b|。thenaandbareanti-parallel。Inparticular。a2=|a||a|=,b为非零向量,则a·b=|a||b|cosθ。其中θ为a,b之间的夹角。设计意图:通过引出向量数量积的定义,帮助读者更好地理解和运用数量积。运用新知:用向量方法证明直线和平面垂直的判定定理。:..以家为家,以乡为乡,以国为国,以天下为天下。——《管子》内有两条相交直线,n,XXXm且XXX,则证明l⊥α。思路分析:要证明l⊥α,需要证明l垂直于α内的任意一条直线g。通过建立g和m、n之间的联系,再利用向量的性质,可以得到证明结论。证明:在α内任取一条不与m、n重合的直线g,然后在l、m、n、g上取非零向量l、m、n、g。由于m、n相交,向量m、n不平行。根据共面定理,可以得到存在唯一有序实数对(x,y),使得g=xm+yn。因此,l·g=xl·m+yl·n。由于l·m=0,l·n=0,因此l·g=0,即l⊥g。因此,l垂直于α内的任意一条直线,即得证明结论。点评:向量法是解几何题的一种常用方法,通过将线段或角度转化为向量表示,再利用向量的运算和性质,可以简化计算和证明过程。巩固练:已知空间四边形ABCD中,AB⊥CD,AC⊥BD,证明AD⊥BC。:..人人好公,则天下太平;人人营私,则天下大乱。——刘鹗BC=(AB+BD)·(AC-AB)=AB·AC+BD·AC-AB-AB·BD=AB·(AC-AB-BD)=AB·DC=,ADBC。变练演编:在空间四边形OABC中,已知OA=8,AB=6,AC=4,BC=5,∠OAC=45°,∠OAB=60°,求OA与BC的夹角的余弦值。解:由余弦定理,可以得到OA·BC=OA·AC-OA·AB=|OA||AC|cos〈OA,AC〉-|OA||AB|cos〈OA,AB〉=8×4×cos135°-8×6×cos120°=24-,cos〈OA,BC〉=OA·BC/|OA||BC|=24-162/5×8=3-22/⊥b,向量c与a,b的夹角都是60°,且|a|=1,|b|=2,|c|=:(1)(a+b)2;(2)(a+2b-c)2;(3)(3a-2b)·(b-3c)。答案:(1)5;(2)11;(3)-,BD在平面内,BD⊥AB,线段AC⊥α,如果AB=a,BD=b,AC=c,求C、D间的距离。:..士不可以不弘毅,任重而道远。仁以为己任,不亦重乎?死而后已,不亦远乎?——《论语》AB,AC⊥BD。又因为XXX⊥BD,所以AC·AB=0,AC·BD=,CD⊥AC,CD⊥AB,CD⊥BD。根据勾股定理可得,|CD|2=|AC|2+|AD|2=|AC|2+|AB|2+|BD|2=c2+a2+b2。所以,。课堂小结:、表示方法、取值范围;两个空间向量的数量积运算和运算法则;利用空间向量的数量积证明共线和垂直以及求夹角和距离。、数形结合方法、转化变形方法。、转化思想。布置作业:、4,补充练。补充练::..人人好公,则天下太平;人人营私,则天下大乱。——刘鹗ab,〈a,c〉=0,〈b,c〉=0,且|a|=1,|b|=2,|c|=+b+c的模。答案:|a|=2,|b|=5,〈a,b〉=3,p=3a-b,,问实数λ取何值时p与q垂直?答案:λ=-7/+b+c=0,且|a|=3,|b|=2,|c|=·b+b·c+c·a的值。答案:—A′B′C′D′中,E,F分别是D′D,DB的中点,G在棱CD上,CG=CD,H为C′G的中点。1)求证:EF⊥B′C;2)求EF与C′G所成角的余弦值;:..士不可以不弘毅,任重而道远。仁以为己任,不亦重乎?死而后已,不亦远乎?——《论语》3)FH的长。解:略。本节课介绍了空间向量的夹角和数量积运算的定义及应用。空间向量的夹角和数量积运算的定义类比于平面向量的相关定义。学生通过理解新知并证明,发现了空间向量数量积运算的性质和运算律。本节课的重点是在立体几何中应用空间向量数量积运算的应用和变形公式,并通过变练演编来发散学生思维,帮助他们对所学知识进行整合和对方法进行归纳。教师在本节课中起到主导作用,引导学生自主完成探究新知和理解新知的过程。在应用新知时,学生进行变练演编,加深了他们对知识的理解和问题转化的能力。备选例题:已知平行六面体ABCD中,AB=4,AD=3,AA′=5,BAD=90°,∠BAA′=∠DAA′=60°,求AC′的长。:..百川东到海,何时复西归?少壮不努力,老大徒伤悲。——汉乐府的长,只需将AC′用,AD,AA′表示出来即可。解答:|AC'|2=(AB+AD+AA')2=|AB|2+|AD|2+|AA'|2+2AB·AD+2AB·AA'+2AD·AA'=42+32+52+2×4×3×cos90°+2×4×5×cos60°+2×3×5×cos60°=16+9+25+20+15=85,所以|AC'|=,且SA=SB=SC=1,M和N分别是AB和SC的中点。要求异面直线SM与BN所成角的余弦值,可以先求SM·BN和|SM||BN|,再用向量夹角公式求解。设SA=a,SB=b,SC=c,则a·b=b·c=a·c。将SM·BN化为基向量表示,可以得到cos〈SM,BN〉=-|SM||BN|/。在长方体ABCD-A中,AB=BC=4,E为AC与BD的交点,F为BC与BC1的交点,且AFBE。⊥BE这个条件,将其转化为向量数量积问题。设AB=a,AD=b,AA1=c,则a·b=b·c=c·a=8,|a|2=a2=16,|b|2=b2==BB1+B1E=c+(b-a),AF=AB+BF=a+(c+b)。由:..先天下之忧而忧,后天下之乐而乐。——范仲淹AF⊥BE可得到[c+(b-a)]·[a+(c+b)]=0,解得|BB1|2=8,所求高BB1=2√:求解三角形中一条边上的高根据勾股定理,有c2+b2-a2=,|c|2=c2=8,,即当且仅当AF⊥BE时,才能求解出高BB的长度。注:本题由XXX设计。