2025年高考数学真题汇编 4：数列 理 试题.pdf

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extbf{2}$。$32$的等比数列的各项都是正数,且$a_3a_{11}=16$,则。:..操千曲尔后晓声,观千剑尔后识器。——$q$$(q>0)$的等比数列的前$n$项和为$S_n$。假设$S_2=3a_2+2$,$S_4=3a_4+2$,则$q= extbf{3}$。$[x]$为不超过实数$x$的最大整数,例如,$[2]=2$,$[]=1$,$[-]=-1$。设$a$为正整数,数列满足$x_1=a$,,现有以下命题:①当$a=5$时,数列的前$3$项依次为$5$,$3$,$2$;②对数列都存在正整数$k$,当时总有$x_n=x_k$;③当时,$x_n>a-1$;④对某个正整数$k$,假设,则$x_n=[a]$。其中的真命题有$ extbf{①③④}$。{an}满足an+1+(-1)an=2n-1,求{an}{an}为递增数列,且a5=a10,2(an+an+2)=5an+1,求{an}的通项公式为2.:..博学之,审问之,慎思之,明辨之,笃行之。——《礼记》{an},{bn}都是等差数列,且a1+b1=7,a3+b3=21,求a5+b5={an}的前n项和为Sn,且a1=1,a2=1,S1=1,S2=a3,求a2={an}满足a1=1,a3=a2-4,求an=2n-(1/n+5n-n^2)/(2/5n)当n趋向于无穷大时的值为1/,棱长组成以1为首项、7,8,9,…,那么lim(V1+V2+…+Vn)/{an}{an}和{bn}满足an+1=an+bn(an+bn),n∈N*,(1)设bn+1=1+(bn/an),n∈N*,求证:数列{2n/(an+bn)}是等差数列;(2)设bn+1=2bn,n∈N*,且{an}是等比数列,求a1和b1的值。:..非淡泊无以明志,非宁静无以致远。——诸葛亮注:该题有两个小问,第一个小问的证明过程需要补充。题目:证明数列和都是正数数列,且,则数列是等比数列,:首先根据等比数列的定义,数列是正数数列。对于,移项得到,即。左边是的差商,即b_n}{b_n}=rac{b_n}{a_n}$,由等比数列的性质可知,是等比数列,,根据等比数列的性质,也是等比数列,且公比为1.:..其身正,不令而行;其身不正,虽令不从。——《论语》本题考查了数列的基本性质和解题方法。首先根据题设和等比数列的性质,推导出an+1an1+bn+1bn1,进而得到an+1an2,再用反证法证明公比q=1,得到通项公式an3n+5或3n-,求出a2a3a:..学而不知道,与不学同;知而不能行,与不知同。——黄睎1成等比数列时,数列的前n项和Sn最终得到答案:an3n+5或3n-7,Sn4(n=1),5(n=2),Sn3n210n+16(n>=3)。26.【2021高考真题理22】(本小题满分是14分)设数列{an的前n项和为Sn且a1:..百学须先立志。——朱熹1,an+1an2n(n+1),n∈N1)求a2a3a4的值;2)证明:对一切正整数n,有Snn3:..志不强者智不达,言不信者行不果。——墨翟22n3)求数列{an的通项公式。答案】此题考察了数列的递推公式和前n项和公式,以及对不等式的证明问题,考察了学生的基本运算求解能力和推理论证能力,难度适中。=-x^2与x轴正半轴相交于点A,点A的横坐标为2,求该抛物线在点A处的切线在y轴上的截距f(n)。】根据导数定义可知,当x=2时,y=-4,抛物线的斜率为-4,所以切线的斜率为-4,过点A的切线方程为y=-4(x-2)-4=-4x+8,即f(n)=-4.Ⅱ】切线的斜率为-4,所以y=-4x+8,将x=2+n代入可得f(n)=-4(2+n)+8=-4n。又因为f(n)>=1/n^3,所以-4n>=1/n^3,即n^3>=-1/4,所以n>=1,因此最小值为a=1.Ⅲ】当a<1时,考虑比较两个无穷级数的大小::..天将降大任于斯人也,必先苦其心志,劳其筋骨,饿其体肤,空乏其身,行拂乱其所为。——《孟子》-f(2k)]/[4f(0)-f(1)]对于第一个级数,由于f(n)=-4n,所以f(1)-f(n)=4(n-1),因此第一个级数的通项公式为4(1-1/n),由比较审敛法知该级数收敛。对于第二个级数,由于f(0)=0,f(1)=-4,所以4f(0)-f(1)=0,因此该级数不收敛。综上所述,当a<1时,第一个级数收敛,第二个级数发散,因此比值小于1,即第一个级数比第二个级数小。{an}的前n项和为Sn,满足2Sn=an+1-2+1,nN,且a1,a2+5,a3成等差数列。4】根据等差数列的通项公式可知,a3-a2=a2-a1,即a3-2a2+a1=0,又因为2S1=a2-a1+1,所以a1=2S1-】由等差数列的通项公式可知,an=a1+(n-1)d,代入已知条件可得a3=a1+2d,a2=a1+d,所以d=3,a1=2S1-1,an=2S1+3(n-1)。6】对于任意正整数n,有a1/a2*a2/a3*。*an-1/an*an/a1:..以铜为镜,可以正衣冠;以古为镜,可以知兴替;以人为镜,可以明得失。——《旧唐书·魏征列传》*(2S1+3(n-2))/(2S1+3n)2S1-1)/(2S1+5)*(2S1+2)/(2S1+8)*。*(2S1+3(n-2))/(2S1+3n)*(2S1+3(n-1))/(2S1-1)2S1+3n)/(2S1+5)*(2S1+3(n-1))/(2S1+8)*。*(2S1+3)/(2S1+3(n-2))2S1+3n)/(2S1+3)*(2S1+3(n-1))/(2S1+6)*。*(2S1+6)/(2S1+3)]/[(2S1+5)/(2S1+3)*(2S1+8)/(2S1+6)*。*(2S1+3n)/(2S1+3(n-2))]2S1+3n)/(2S1+3)]/[(2S1+5)/(2S1+3(n-1))]=(2S1+3n)/(a3+2n-3)由于a3+2n-3>a3>a1,所以a1/(a2*a3*。*an)<(2S1+3n)/(a3+2n-3)<a3/(a1*a2*。*an),即a1/(XXX)<(2S1+3n)/(a3+2n-3)<1/a1,所以a1/(a2*a3*。*an)<1/a1,即a1^2<a2*a3*。*an,所以a1^2<(2S1+3n)/(2S1-1)。答案】本卷2022年2月8日编写;出题人:令狐学复、XXX、XXX。:..以铜为镜,可以正衣冠;以古为镜,可以知兴替;以人为镜,可以明得失。——《旧唐书·魏征列传》2021高考真题理21】(本小题满分12分,I小问5分,II小问7分)设数列an的前n项和Sn满足Sn+1=a2Sn+a1,其中I〕求证:an是首项为1的等比数列;II〕假设a2>-1,求证:Sn≤n(a1+a2),并给出等号成立的充要条件。点评】此题主要考察数集、集合的基本性质、元素与集合的关系等基础知识。此题属于信息给出题,通过定义“X具有性质P”这一概念,考察考生分析探究及推理论证的能力。综合考察集合的基本运算,集合问题一直是近几年的命题重点内容,应引起足够的重视。30.【2021高考真题理17】(本小题满分12分)数列{an}的前n项和Sn=-1/(2n+k)n,kN*,且Sn的最大值为8.:..学而不知道,与不学同;知而不能行,与不知同。——黄睎1k,求an;2〕求数列{9-2an}的前n项和XXX。点评】此题考察数列的通项,递推、错位相减法求和以及二次函数的最值的综合应用。利用an=S(n)-S(n-1)来实现an与Sn的互相转化是数列问题比较常见的技巧之一,要注意an=S(n)-S(n-1)不能用来求解首项an,首项an一般通过an=S1来求解。运用错位相减法求数列的前n项和适用的情况:当数列通项由两项的乘积组成,其中一项是哪一项等差数列、另一项是哪一项等比数列。31.【2021高考真题理21】(本小题满分13分)2*数列{xn}满足:x1=0,xn+1=-xn+xn+c(nN)。答案】本卷2022年2月8日编写;出题人:令狐学复、XXX、XXX。证明:数列{x_n}是单调递减数列的充分必要条件是c<0.:..天行健,君子以自强不息。地势坤,君子以厚德载物。——《周易》c的取值范围,使数列{x_n}是单调递增数列。答案】此题考察数列的概念及其性质,不等式及其性质,充要条件的意义,数列与函数的关系等基础知识,考察综合运用知识分析问题的能力,推理论证和运算求解能力。解析】〔I〕必要条件当c<0时,有x_{n+1}=-x_n+x_n+c<x_n,因此数列{x_n}是单调递减数列。充分条件当数列{x_n}是单调递减数列时,有x_1>x_2=-x_1+x_1+c=c,因此c<x_1,得到数列{x_n}是单调递减数列的充分必要条件是c<〕由〔I〕得::..吾日三省乎吾身。为人谋而不忠乎?与朋友交而不信乎?传不习乎?——《论语》①当c=0时,a_n=a_1=n,不符合题意;②当c>0时,有x_2=c>x_1,x_3=-c+2c>x_2=c,因此c0,因此数列{x_n}是单调递增数列。当c≤0时,有x_n<c≤x_1,因此x_n+x_{n+1}-1<x_{n+2}-x_{n+1},因此数列{x_n}是单调递减数列。综上所述,数列{x_n}是单调递增数列的充分必要条件是0≤c<1.Ⅰ】求数列{a_n}与{b_n}的通项公式。因为{a_n}是等差数列,设其公差为d,则有a_n=2+(n-1)d,因此S_n=n[2+(n-1)d]/{b_n}是等比数列,设其首项为2,公比为q,则有b_n=2q^(n-1),因此S_n=2(1-q^n)/(1-q)。:..子曰:“知者不惑,仁者不忧,勇者不惧。”——《论语》由a_4+b_4=27可得2+3d+8q^3=27,由S_4-b_4=10可得n(2+2d+4q+8q^2-2q^3)/3-2q^3=10,联立以上两式解得d=3,q=2/{a_n}=2+3(n-1),{b_n}=2(2/3)^(n-1)。答案】{an}的各项均为正数,记Tn=a1/bn+a2/bn-1+…+an/b1,n∈N,证明Tn+12=-2an+10bn〔n∈N〕.解:对于任意n∈N,有Tn=a1/bn+a2/bn-1+…+an/b1将XXX的每一项乘以bn,得到Tn×bn=a1+a2×bn/bn-1+…+an-1×bn/2+an×bn/1将Tn的每一项乘以bn-1,得到:..不飞则已,一飞冲天;不鸣则已,一鸣惊人。——《韩非子》Tn×bn-1=a1×bn-1/bn+a2+…+an-1×bn-1/1+an×bn-1/2将Tn的每一项乘以bn-2,得到Tn×bn-2=a1×bn-2/bn-1+a2×bn-2/bn-2+…+an-1+an×bn-2/1将Tn×XXX的每一项减去Tn×XXX的对应项,得到Tn×bn-1-Tn×bn-2=a1×(bn-1/bn-bn-2/bn-1)+a2×(bn-2/bn-1-1)+…+an-1×(1-bn-2/bn-1)+an×bn-2/1由于Tn是等差数列,所以有Tn×bn-1-Tn×bn-2=Tn-Tn-1=an/b1,代入上式得到an/b1=a1×(bn-1/bn-bn-2/bn-1)+a2×(bn-2/bn-1-1)+…+an-1×(1-bn-2/bn-1)+an×bn-2/1移项得到:..吾日三省乎吾身。为人谋而不忠乎?与朋友交而不信乎?传不习乎?——《论语》an/b1+2a1/bn+2a2/bn-1+…+2an-1/b2=bn-2(Tn-an/b1)代入Tn的定义式,得到an/b1+2a1/bn+2a2/bn-1+…+2an-1/b2=bn-2(Tn-Tn-1)整理得到Tn+1/2=-2an+10bn即证。,已知$a_3+a_4+a_5=84$,$a_9=73$。1)求数列的通项公式;:..穷则独善其身,达则兼善天下。——《孟子》2)对任意,将数列中落入区间$(9,9m^2m)$内的项的个数记为$b_m$,求数列的前$m$项和$S_m$。$f(x)=x-2x-3$,定义数列如下:$x_1=2$,$x_{n+1}$是过两点$P(4,5)$、$Q_n(x_n,f(x_n))$的直线$PQ_n$与$x$轴交点的横坐标。1)证明:;2)求数列的通项公式。