专题突破：解直角三角形的应用问题（4大题型）-2024-2025学年九年级数学上册单元速记·巧练（湘教版）[含答案].pdf

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)【变式1-2】(九年级上·江苏南通·期末)VABCD=°,在中,,AC=23,tanB=,则AB的长为()++【变式1-3】(2024九年级下·上海·专题练习),已知在VABC中,ABAC=,tanD=B,将VABC翻折,使点C与点A重合,2BD折痕DE交边BC于点D,交边AC于点E,,共页:..【变式1-4】(2023九年级下·全国·专题练习),在VABC中,sinB=,tanC=,AB=3,则AC的长为,VABC的32面积为.【变式1-5】(23-24八年级下·全国·课后作业),在VABC中,D=°D=°=ABAC30452,,,求AB和BC的长.【变式1-6】(23-24九年级上·安徽六安·阶段练习),在VABC中,D=°D=°=ABBC30,45,32.(1)求AC的值.(2)求VABC的面积(结果保留根号)【变式1-7】(23-24九年级上·江苏泰州·期中),AD是的中线,tan,cos,2BCAC===52求:(1)BC的长;(2),共页:..【变式1-8】(河南安阳·模拟预测)(点A)与B、C两个站点的位置如图所示,已知AC=6km,D=°B30,D=°C15,求B站点离公交总站的距离即AB的长(结果保留根号).题型二仰角、俯角问题【例2】(24-25九年级上·山东聊城·阶段练习)10.【项目式活动探究】光岳楼位于聊城古城中央,始建于明洪武七年(公元1374年),被誉为中国十大名楼,光岳楼为中国既古老又雄伟的木构楼阁,是宋元建筑向明清建筑过渡的代表作,在中国古代建筑史上有着重要地位,1988年光岳楼被列为全国重点文物保护单位,享有“虽黄鹤、岳阳亦当望拜”之誉,某校数学实践小组利用所学数学知识测量光岳楼的高度,他们制订了两个测量方案,,(不完整)项目测量光岳楼的高度方案一:标杆垂直立于地面,借助平行的太阳光方案二::标杆长????,影长ED及测量:距离????,仰角a,仰同一时刻塔影长????角bB、C、D三点在同一条直线说明E、D、B三点在同一条直线上上测量示意图试卷第415页,共页:..°°????°°°°????25m26m????13m【问题解决】(1)“方案一”两次测量塔影长????的平均值是(2)根据“方案一”的测量数据,可求得光岳楼????的高度为(3)根据“方案二”的测量数据,求出光岳楼????的高度;(参考数据:°?,°?,°?)注:?结果保留1位小数(4)请对本次实践活动进行评价(一条即可)【变式2-1】(24-25九年级上·江苏淮安·阶段练作点A,其正下方水平面上的点记作点B),小李站在附近的水平地面上,他想知道自己到古塔的水平距离,便利用无人机进行测量,但由于某些原因,无人机无法直接飞到塔顶进行测量,因此他先控制无人机从脚底(记为点C)出发向右上方(与地面成45°,点A,B,C,O在同一平面)的方向匀速飞行4秒到达空中O点处,再调整飞行方向,继续匀速飞行8秒到达塔顶,已知无人机的速度为5米/秒,D=°AOC75,,共页:..【变式2-2】(24-25九年级上·吉林长春·期中),线段AB、CD分别表示甲、乙建筑物的高,ABMN^于点B,CDMN^于点D,,在点A处测得点C的仰角a为25°,求乙建筑物的高CD.(结果精确到1m)(参考数据:sin25°?,°?,tan25°?)【变式2-3】(2024·陕西·模拟预测),某个周末,他站在阳台眺望远方,当看到正对面的大楼乙时,陷入了思考:对面的大楼乙有多高?,小乐家在点P处,当他抬头观察大楼乙的顶端A时,记其仰角为a,观测大3楼乙的底端B时,记其俯角为b,整理所测数据:a=°60,tanb=.已知甲、.(图中所有点在同一个平面内,ABCG^,EFCG^,结果保留根号)【变式2-4】(24-25九年级上·上海闵行·阶段练习)试卷第615页,共页:..,当书架与桌面的夹角D=°AOB150时,顶部边缘A处离桌面的高度AC的长为15cm,,最后发现当张角D=°AOB￠120时(点A￠是A的对应点),舒适度较为理想.(1)书架在旋转过程中,求顶部边缘A点到A￠走过的路径长.(2)如图2这个平面图形,如果嘉嘉的眼睛在E处,书上有一点F,旋转点O到点F的距离为20cm,嘉嘉看点F的俯角为18°,眼睛到桌面高度为EB,点O到点B的距离为25cm,求此时眼睛到F点的距离,即EF的长度.(结果精确到1cm;参考数据:°?,°?,°?)【变式2-5】(23-24九年级上·安徽·期末),塔AB前有一座高为DE的山坡,已知CDm=8,D=°DCE30,点A,C,°,在山坡D处测得塔顶部B的仰角为27°.(1)求DE的长.(2)求塔AB的高度.(参考数据:°?,°?,°?,?,结果取整数)题型三方位角问题【例3】(24-25九年级上·重庆·阶段练习),甲、乙两艘货轮同时从A港出发,分别向B,D两港运送物资,最后到达A港正东方向的C港装运新的物资,甲货轮沿A港的东北方向航行40海里到达D港,再沿东南方试卷第715页,共页:..°方向航行后到达B港,再沿北偏西15°方向航行一定距离到达C港.(参考数据:?,?,?)(1)求B,C两港之间的距离;(2)若甲货轮的速度为20海里/小时,乙货轮的速度为30海里/小时(停靠B,D两港的时间相同),哪艘货轮先到达C港?请通过计算说明.【变式3-1】(24-25九年级上·重庆·阶段练习),小明想先沿BC去位于家A的正西方向、距家2402米的菜鸟驿站C处取包裹,然后再沿CA回家;妈妈想先沿BD去位于家A的北偏西15°°方向、干洗店D的南偏西75°方向.(参考数据:?,?)(1)求小明家与书店的距离AB(结果保留整效);(2)小明和妈妈回家的路程相差多少米(结果保留整数)?【变式3-2】(23-24九年级上·重庆荣昌·期末),妈妈带着明明去草原骑马,如图,妈妈位于游客中心A的正北方向的B处,其中AB=2km,,妈妈准备把包里的太阳帽给明明送去,于是,妈妈向正西方向匀速步行,同时明明骑马向南偏东60°,他们再游客中心A的北偏西37°,共页:..(1)求妈妈步行的速度;(2)求明明从C处到D处的距离.【变式3-3】(23-24九年级上·重庆·阶段练习),“每天运动一小时,快乐学习每一天”,响应学校号召,小明决定早睡早起,,小明家在A处,学校在C处,从家到学校有两条线路,他可以从点A经过点B到点C,,点B在点A的正北方向,AB=°;点D在点A的正东方向,点C在点D的北偏东30°方向,CD=2900米.(1)求BC的长度(精确到个位);(2)小明每天步行上学都要从点A到点C,路线一;从点A经过点B到点C,路线二;从点A经过点D到点C,请计算说明他走哪一条路线较近?(参考数据:?,?,?)【变式3-4】(24-25九年级上·山东泰安·阶段练习),C为景区大门,A,B,,A,B,C在同一直线上,且A,B在C的正北方向,AB=240米,点D在点B的南偏东75o方向,在点A的东南方向.(参考数据:?,?)试卷第915页,共页:..(1)求B,D两地的距离;()(2)大门C在风景点D的南偏西60o方向,景区管理部门决定重新翻修CD之间的步道,求CD间的距离.【变式3-5】(24-25九年级上·黑龙江大庆·阶段练习),A,B两城市相距200km,现计划在这两座城市间修建一条高速公路(即线段AB),°和B城市的北偏西45°,100km为半径的圆形区域内,请问:计划修建的这条高速公路会不会穿越保护区?请说明理由.(参考数据31,732,??)【变式3-6】(24-25九年级上·上海徐汇·阶段练习),MN表示某引水工程的一段设计路线,从M到N的走向为南偏东30°,在M的南偏东60°方向上有一点A,以A为圆心、,测得BA的方向为南偏东75°.已知MB=410m,通过计算回答,如果不改变方向,输水管道是否会穿过居民区.【变式3-7】(24-25九年级上·山东济宁·阶段练习),在南北方向的海岸线MN上,有A、B两艘巡逻船,现均收到故障船C的求救信试卷第1015页,共页:..、B两船相距10031?+?海里,船C在船A的北偏东60°方向上,船C在船B的东南方向上,MN上有一观测点D,测得船C正好在观测点D的南偏东75°方向上.(1)分别求出A与C,A与D之间的距离AC和AD(如果运算结果有根号,请保留根号).(2),在去营救的途中有无触暗礁危险?(参考数据:?,?)题型四坡度、坡比问题【例4】(浙江温州·期中),背水坡AD的坡比是3:1,迎水1坡BC的坡比是1:1,,由于受到夏季洪水的冲刷,坡面BC受损严重,工程师给出整修加固方案图纸(图2),,做新的迎水坡CI,并在CI坡面上铺上导渗材料,做高为12米的块石固脚等腰梯形IEFB,铺设离水平地面AB高度4米的土撑梯形GIEH(GHEFIB∥∥,坡面HE和GI的坡比都为4:3),,共页:...【变式4-1】(九年级下·吉林长春·自主招生),一名滑雪运动员沿着倾斜角为34°的斜坡,=200米,则这名滑雪运动员的高度下降了米.(参考数据:°=,°=,°=)【变式4-2】(2024·全国·二模),斜坡CD的底部点C与高楼AB的水平距离CB为30米,斜坡CD的坡度(坡比)i=1:,坡顶D到BC的垂直距离DE=10米,在点D处测得高楼楼顶点A的仰角为50°,求楼的高度AB().(参考数据:°?,°?,°?)【变式4-3】(24-25九年级上·山东聊城·阶段练习),某大楼的顶部树有一块广告牌CD,小李在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为60°.沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°,已知山坡AB的坡度i=1:3,AB=10米,AE=15米.(i=1:3是指坡面的铅直高度BH与水平宽度AH的比)试卷第1215页,共页:..(1)求点B距水平面AE的高度BH;(2)求广告牌CD的高度.(测角器的高度忽略不计,:2?,3?)【变式4-4】(24-25九年级上·山东泰安·阶段练习),小刚站在雕像前,自C处测得雕像顶A的仰角为53°,小强站凤栖堂门前的台阶上,自D处测得雕像顶A的仰角为45°,此时,,已知凤栖堂门前台阶斜坡CD的坡比为i=1:3.(参考数据:434sin53°?,cos53°?,tan53°?)553(1)计算台阶DE的高度;(2)求孔子雕像AB的高度.【变式4-5】(2024·海南海口·一模),5G时代,万物互联,助力数字经济发展,=1:(即DBAB:1:=)的山坡AD上加装了信号塔PQ,°时,且AMME==8m,,共页:..(1)AQ= m,D=PEN °;(2)求信号塔PQ的高度大约为多少米?(参考数据:°?,°?,°?)【变式4-6】(2024·贵州黔东南·二模),河水蜿蜒,以“S”,该河旁有一座小山,山高BC=80m,,坡面AB的坡度i=1:(注:坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比),点C,A与河岸E,从山顶B处测得河岸E和对岸F的俯角分别为D=°DBE45,D=°DBF31.(1)求山脚A到河岸E的距离;(2)试求此处河宽EF(:°≈,°≈,°?).【变式4-7】(2024九年级下·辽宁·专题练习),它是由呈双帆造型的碑身与方形底座两部分组成的,底座下方是台阶,=1:3,,共页:..(1)计算坡面DE的铅直高度;(2)如图3,为了测量纪念碑的高度,,测得纪念碑碑身顶端A的仰角是35°,,此时测得纪念碑顶端45°,求纪念碑的实际高度AC.(,参考数据:°?°?°?,,)试卷第1515页,共页:..1.(1)12(2)25(3)55【分析】(1)过点A作ADBC^,根据DC的正切值确定DC的度数,再利用直角三角形的边角间关系求出AD、CD,最后利用三角形的面积公式算出VABC的面积;(2)先利用线段的和差关系求出BD,然后在RtABD△中利用勾股定理求出AB;(3)在RtABD△中利用直角三角形的边角间关系求出DB的余弦值.【详解】(1)解:过点A作ADBC^,垂足为D,∴D=D=°ADCADB90,∵DC为锐角且tan1C=,∴D=°C45,∴D=°-D=°9045,∴D=D=°45,∴ADDC=,在RtACDV,AD∵sinC=,AC=42,AC2∴===′=gsin424,2∵BC=6,11∴SBCAD△ABC==′′=∴VABC的面积为12.(2)∵DCAD==4,BC=6,∴BDBCDC=-=-=642,在RtABD△中,答案第131页,共页:..ABADBD=+=+=22224225.∴AB的值为25.(3)在RtABD△中,AB=25,BD=2,BD25∴cosD===∴【点睛】本题主要考查解直角三角形,掌握直角三角形的边角间关系、特殊角的三角函数值、【分析】本题考查解直角三角形,.【详解】解:过点B作AC的垂线,垂足为M,设小正方形的边长为a,∵在边长相等的小正方形组成的网格中,点A,B,C都在格点上,222222∴ABaaa=+=?310?,BCaaa=+=?310?,ACaaa=+=?2222???,∴ABBC=,∵BMAC^,∴点M是AC的中点,11∴CMACaa==′=222,222222在Rt△BCM中,Maaa=-=-=?10222???,BMa2225∴sinD===ACB,BC10a525∴:,共页:..【分析】作CDAB^于D,根据D=°A30,AC=23,算出CD和AD,再根据CD3tanB==,算出BD,最后根据ABADBD=+【详解】如下图,作CDAB^于D,在Rt△ACD中,D=°A30,AC=23,1\==CDAC3,ADCD==33,2CD3在Rt△BCD中,tanB==,BD233\=,BD2\=BD2,\=+=+=ABADBD325,故选:D.【点睛】本题考查了用锐角三角函数解非直角三角形,【分析】本题考查翻折变换(折叠问题)、解直角三角形、勾股定理,过点A作AFBC^于点F,,AECE=,DEAC^,设AFx=,在RtVABF中,AF1tanDB==,可求得BFCFx==2,再利用勾股定理求出BF222DE1ABACAFBFx==+=5,在Rt△CDE中,tantanDDCB===,即可求得CE25x22511DE=,结合勾股定理可得CDDECEx=+=,DBFCDx=-=-=2,444进而可得出答案.【详解】解:过点A作AFBC^于点F,,共页:..由翻折可知,AECE=,DEAC^,QABAC=,\D=DBC,BFCF=.设AFx=,AF1在RtVABF中,tanDB==,BF2\==BFCFx2,\==+=ABACAFBFx225,DE1在Rt△CDE中,tantanDDCB===,CE215xQCEAC==,225x\=DE,4225\CDDECEx=+=,411DBFCDx=-=-=2,411BDx11\==:.【分析】过A作ADBC^,如图所示,在Rt△ABD中,sinB=,AB=3,得到AD=1,32BD=22;在Rt△ACD中,tanC=,得到CD=2,由勾股定理得AC=3;再由三2132角形面积公式代值求解即可得到SBCAD△ABC=×=.22【详解】解:过A作ADBC^,如图所示:答案第431页,共页:..1在Rt△ABD中,sinB=,AB=3,3\=×=ADABBsin1,BDABAD=-=-=222231222在Rt△ACD中,tanC=,2\AD2=,即CD=2,DC2\=+=BCBDCD32,2222由勾股定理得ACADCD=+=+=123??;132\=×=SBCAD△ABC,2232故答案为:3,.2【点睛】本题考查解非直角三角形问题以及求三角形面积,涉及三角函数定义、勾股定理及三角形面积公式,=+31,BC=211【分析】如图,==′=21,BDCD==1,分别使用22勾股定理,计算即可,本题考查了化斜为直解直角三角形,熟练掌握作高是解题的关键.【详解】解:如图,,∵D=°D=°=ADCAAC90302,,,11∴CDAC==′=∴D=-=,∵D=°D=°BDCB9045,,∴D=°BCD45,∴D=,共页:..∴BDCD==1,BCBDCD=+=222.∴ABADBD=+=+.(1)AC=6939+(2)VABC的面积为2【分析】本题考查了解三角形,解题关键是构造出直角三角形.(1)过点C作CDAB^于点D,构造出两个直角三角形,再根据所给条件直接求解即可;(2)利用勾股定理及三角形面积求解即可.【详解】(1)解:如图,过点C作CDAB^△BCD中,D=°B45,BC=32,\2BDBC=×°=′=cos45323,2\CDBD==3,在Rt△ACD中,QD=°A30,\=AC6;(2)解:由(1)知:在Rt△ACD中,AC=6,CD=3,\=-=AD633322,\ABADBD=+=+333\1939+SABCD△ABC=′′=.228.(1)65(2)5【分析】本题考查解直角三角形的应用、锐角三角函数等知识,解题的关键是:答案第631页,共页:..(1)作AHBC^,求出AHCH==1,在Rt△ABH中,求出BH即可解决问题;(2)在RtVADH中,求出DH,AD即可解决问题.【详解】(1)解:如图,作AHBC^,QcosC==,AC=2,2AC\=CH1,H=-=221,AH1在Rt△ABH中,QtanB==,BH5\=BH5,\=+=BCBHCH6.(2)QBDCD=,\=CD3,DH=2,ADAHDH=+=225,AH5在RtVADH中,sinD==\.(3632)km-【分析】过点C作CDAB^交AB的延长线于D,易得VCDA是等腰直角三角形,由勾股定理可求得ADCD=的长,再由含30°角直角三角形的性质求得BC,再由勾股定理可求得BD,从而求得AB.【详解】过点C作CDAB^交AB的延长线于D,如图,QD=°B30,D=°D90,\D=°-°=°DCB903060,QD=°ACB15,\D=D-D=°ACDDCBACB45,\D=D=°DCADAC45,\=CDAD,答案第731页,共页:..\VCDA是等腰直角三角形,2由勾股定理得ADCDAC===32(km),2QD=°B30,D=°D90,\==BCCD262(km),D=-=-=22721836(km),\=-=-ABBDAD(3632)km.【点睛】本题考查了解直角三角形,.(1)(2)34m(3)33m(4)两种方案均可测量出光岳楼的近似高度,测量时取平均值是减少误差的方式(答案不唯一)【分析】本题考查了关于求塔高的实践与探究,相似三角形的性质和锐角三角函数的实际应用.(1)根据平均值的公式求解即可;(2)根据相似三角形的性质求解即可;(3)设BCx=m,在Rt△ABC中和在Rt△ABD中,分别表示出AB,即可求解;(4)+【详解】(1)解:由题意得:“方案”两次测量塔影长DB的平均值是=(2)解:由题意得:VVEDCDBA∽,EDCD∴=,DBAB∵ED=,CD=,DB=,答案第831页,共页:..DBCD′′∴AB===34m;(3)解:设BCx=m,∵CD=13m,∴Dx=+=+(13)m,在Rt△ABC中,D==°ACBa37,∴ABBCx=′°?(m),在Rt△ABD中,D==°ADBb30,3∴ABBDx=′°=+tan3013(m)??,33x?44∴(13)xx=+,解得,3∴ABx==(m),答:光岳楼AB的高度约为33m(4)评价:两种方案均可测量出光岳楼的近似高度,测量时取平均值是减少误差的方式.(答案不唯一,)-【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题,过点O作ODBC^,交BC的延长线于点D,过点O作OEAB^,垂足为E,根据题意可得:AO=40米,OC=20米,OEBD=,OEBD∥,从而可得D=D=°EOCOCD45,进而可得D=°AOE30,然后在Rt△OCD中,利用锐角三角函数的定义求出CD的长,再在Rt△AOE中,利用锐角三角函数的定义求出OE的长,从而求出BD的长,最后利用线段的和差关系进行计算,即可解答,根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键.【详解】解:过点O作ODBC^,交BC的延长线于点D,过点O作OEAB^,垂足为E,如图所示:由题意得:AO=′=8540米,OC=′=4520米,OEBD=,OEBD∥,答案第931页,共页:..\D=D=EOCOCD45°,QD=°AOC75,\D=D-D=AOEAOCEOC30°,2在Rt△OCD中,CDOC=×°=′=cos4520102米,23在Rt△AOE中,OEAO=×°=′=cos3040203米,2\==OEBD203米,\=-=-BCBDCD203102米,\小李到古塔的水平距离即BC的长为203102-