协方差与相关系数.ppt

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——by xxx xxxx
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一、协方差
CONTENTS
引入背景
01
举例：
02
二维随机变量(X,Y)的相互关系如何描述？n维变量间的关系
不同地区气温间的关系；
人的身高、体重间的关系；
不同股票收益率间的关系；
公司经营业绩与资本结构间的关系。
03
(X, Y)为二维随机变量，则称下式为X、Y的协方差。
Cov(X,Y) =E{[ X-E(X)][Y-E(Y) ]}
⑴ 协方差为X,Y偏差[ X-E(X)] 与[Y-E(Y) ] 乘积的数学期望
(3) 当X，Y相同时，Cov(X, X) = D(X)=Var(X).
2、协方差的定义
说明：
(2) Cov(X,Y)>0，正相关；Cov(X,Y)<0, 负相关。=0，不相关
(4) 由定义可知，Cov(X, Y) = Cov(Y, X) .
(4) Cov(X1+X2, Y)= Cov(X1, Y) + Cov(X2, Y)
(2) 对称性： Cov(X, Y)= Cov(Y, X)
(3) Cov(aX, bY) = ab Cov(X, Y) a,b是常数
3、协方差的主要性质
⑴ Cov(X, Y)=E(XY)-E(X)E(Y) (最常用计算方法)
证: (1) Cov(X,Y)=E{[ X-E(X)][Y-E(Y) ]}
=E(XY)-E(X)E(Y)-E(Y)E(X)+E(X)E(Y)
=E(XY)-E(X)E(Y)
= ab cov(X, Y)
=E{ab [X-E(X)][Y-E(Y) ]}
(3) Cov(aX, bY) =E{[aX-E(aX)][bY-bE(Y) ]}
01
=Cov(X1, Y) + Cov(X2, Y)
=E{[X1 -E(X1)][Y-E(Y) ]}+E{[ X2 -E(X2)] [Y-E(Y) ]}}
(4) Cov(X1+X2, Y)=E{[X1+X2 -E(X1+X2)][Y-E(Y) ]}
02
相关系数的定义
说明：
相关系数无量纲，消除了量纲不同对相关程度的影响。
 与Cov(X,Y)同号。>0, 正相关；<0, 负相关； =0,不相关
二、相关系数
相关系数的性质
01
结论：
02
0≤D(Y-tX)= t2D(X )-2t Cov(X,Y))+D(Y)
令
，则上式为
D(Y- tX)=
证1: (1) 根据方差的性质，对于任意实数t
例 设(X, Y)的分布律为：
X\Y
-1 0 1
P{X=i}
-1
0
1
0 ¼ 0
¼ 0 ¼
0 ¼ 0
¼
½
¼
P{Y=j
¼ ½ ¼
1
从而COV(X,Y)=0, 不相关
P{X=-1}P{Y=0}= 1/8  P{X=-1, Y=0}
X,Y不独立。
Cov(X, Y)=E(XY)-E(X)E(Y)
谢谢大家
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