第10讲难点探究专题：平面直角坐标系中面积与规律探究问题（2个知识点+8大考点+过关检测）（原卷版）[含答案].pdf

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第 10 讲 难点探究专题：平面直角坐标系中面积与规律探究
问题
知识点 01 有序数对
有顺序的两个数 a 与 b 组成的数对叫做有序数对，记作a b, ．
注意：有序数对是有顺序的，可以准确地表示出平面内一个点的位置，a b, 和b a, 表示的
意义是不同的．
知识点 02 平面直角坐标系
1．象限和坐标轴：
（1）第一象限内的点x y, 的坐标满足：x > 0，y > 0；（2）第二象限内的点x y, 的坐标
满足：x < 0 ，y > 0；
（3）第三象限内的点x y, 的坐标满足：x＜0， y <0；（4）第四象限内的点x y, 的坐标满
足：x > 0，y <0．
（5）x 轴上的点x y, 的坐标满足：y = 0 ；（6）y 轴上的点x y, 的坐标满足：x = 0；
注意：两条坐标轴上的点不属于任何一个象限．
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考点一：与面积有关的点的位置不定产生多解
（例题： 23-24 七年级上·河北邢台·期末）
1．已知点A a0, 和点B6,0两点，且直线𝐴𝐵与坐标轴围成的三角形的面积等于 12，则点A
的坐标为 ．
【变式训练】
（23-24 七年级下·广东广州·期中）
2．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A 的坐标为a,0，点B 的坐标为b,2，点C
ìa b c-+=2 12
的坐标为c d, ，其中a，b ，c满足方程组í ，连接AB ，AC ，BC ，若VABC
î2 3a b c--=
的面积等于10，则d 的值为（ ）
16 4 4 16
A． 或B．- 或
5 5 5 5
24 16 16 24
C． 或D． 或-
5 5 5 5
（23-24 七年级下·江西南昌·期中）
3．已知点 A2,0，B0,2，点C 在坐标轴上，且三角形ABC 的面积是2，则满足条件的
点C 的坐标为 ．
考点二：直接利用面积公式求图形的面积
例题：
4．如图，在平面直角坐标系中，点A 、B 的坐标分别为a,0，b,0，且a，b 满足
a b++-2 4 0＝ ，点C 的坐标为0,3．

(1)求a，b 的值；
(2)求VABC 的面积．
【变式训练】
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5．如图，在平面直角坐标系中，三角形 ABC 的边AB 在x 轴上，且AB = 4，顶点A 的坐标
为2 0，，顶点C 的坐标为-2 5，．

(1)画出所有符合条件的三角形 ABC ，并写出点B 的坐标；
(2)求三角形 ABC 的面积．
（23-24 七年级下·全国·期末）
6．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为(0,4)，点B 的坐标为4,0，过点C3,0
作直线CD x^ 轴，垂足为C，交线段AB 于点D，过点 A 作 AE CD^ ，垂足为E，连接BE ．
(1)求VABE 的面积；
(2)点 P 为直线CD上一动点，当S SVVPAB AOB= 时，求点P 的坐标．
考点三：利用补形法或分割法求图形的面积
（例题： 2023 春·江西南昌·七年级校联考期中）
7．如图，已知点 A-3,1，B1, 3- ，C3,4，求三角形ABC 的面积．
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【变式训练】
（24-25 八年级上·四川绵阳·开学考试）
8．已知平面直角坐标系中 x 轴与 y 轴交于点 O，坐标系内两点 A-2,3、B3,2如图所示，
连接AO BO AB、 、 ，求三角形AOB的面积．
（23-24 七年级下·辽宁盘锦·期中）
9．如图，已知 A( 4,0)- ，B(4,0)，C( )3,2 ，D( )-2,4 ．
(1)求四边形 ABCD的面积；
(2)在 y 轴上存在一点 P，使三角形 APB 的面积等于四边形ABCD面积的一半，求P 点的坐
标．
考点四：与图形面积相关的点的存在性问题
（例题： 2023 春·湖北武汉·七年级统考期中）
10．如图 1，在坐标系中，已知 A a ,0，B b ,0，C-3,7，连接BC 交y 轴于点D，
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3 2
a =- 64 ， b = 4．
(1)请直接写出点A ，B 的坐标，A ______，B ______；
(2)如图 2，SVBCP 、SVABC 分别表示三角形BCP 、三角形ABC 的面积，点P 在y 轴上，使
S SVVBCP ABC= ，点P 若存在，求P 点纵坐标、若不存在，说朋理由；
(3)如图 3，若Q m n , 是x 轴上方一点，当三角形QAC 的面积为20 时，求出7m n- 的值．
【变式训练】
（2023 春·广东湛江·七年级校考期中）
11．如图， A-1,0，C1,4，点B 在 x 轴上，且 AB =3．
(1)求点 B 的坐标：
(2)求VABC 的面积；
(3)在 y 轴上是否存在 P，使以A、B、P 三点为顶点的三角形的面积为 10?若存在，请求出点
P 的坐标；若不存在，请说明理由．
（23-24 七年级下·全国·单元测试）
12．如图，在平面直角坐标系中，直角三角形 ABC ，点A t( ,2)，B t( 2,2)- ，C t( ,5)，连接
OB ，OC ．
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(1)求三角形 ABC 的面积；
(2)请用含 t 的式子表示三角形OBC 的面积，并写出t 的取值范围；
(3)设OC 与线段BA的延长线交于点D，当三角形OBD的面积与三角形ACD 的面积相等时，
求t 的值及点 D 的坐标．
考点五：平面直角坐标系中动点移动问题
（例题： 23-24 八年级上·四川达州·期末）
13．如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点1,1，
第2 次接着运动到点2,0，第3 次接着运动到点3,2…按这样的运动规律经过第 2023 次
运动后，动点 P 的坐标是（ ）
A．2023,0 B．2024,0 C．2024,1 D．2023,2
【变式训练】
（23-24 七年级下·四川广元·期末）
14．如图，在平面直角坐标系中，一动点自P0 1,0处向上运动1个单位长度至点P11,1，然
后向左运动2个单位长度至点P2 -1,1处，再向下运动3个单位长度至点P3--1, 2处，再向
右运动4个单位长度至点P4 3, 2- 处，…，按如此规律继续运动下去，当这点运动至P2024 处
时，点P2024 的坐标是（ ）
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A．-1011,1011 B．1011, 1012- 
C．1013, 1012-  D．1013,1013
（23-24 七年级下·广东汕头·期中）
15．如图，在平面直角坐标系中， AB EG x∥ ∥ 轴，BC DE HG AP y∥ ∥ ∥ ∥ 轴，点D、
C、P、H 在 x 轴上，A1,2，B-1,2，D-3,0，E--3, 2，G3, 2- ，把一条长为2024
个单位长度且没有弹性的细线（粗细忽略不计）的一端固定在点 A 处，并按
A﹣B﹣C﹣D﹣E﹣F﹣G﹣H﹣P﹣A…的规律紧绕在图形“凸”的边上，则细线另一端所在位
置的点的坐标是（　　）
A．1,2 B．-1,0 C．--1, 2 D．(1,0)
考点六：平面直角坐标系中图形规律摆放问题
（例题： 23-24 七年级下·河南驻马店·阶段练习）
16．如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中箭头方向排列，如 0,0，
(1,0)，1,1，2,2，(2,1)，(2,0)，3,0，…，根据规律探索可得，第 2024 个点的坐标为
（ ）
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A．62,15 B．63,7
C．63,15 D．64,7
【变式训练】
（24-25 八年级上·广西南宁·开学考试）
17．如图，在平面直角坐标系中有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，依次为
(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,1)，(3,0)，(3, 1)- ，¼，根据这个规律，可得第50 个点的坐标为
（ ）
A．(10,0) B．(10, 1)- C．(10,1) D．(10,2)
（23-24 七年级下·江西南昌·期中）
18．在一单位为 1 的方格纸上，有一列点 A1，A2，A3，…， An ，…，（其中n 为正整数）
均为网格上的格点，按如图所示规律排列，点 A12,0，A2 1, 1- ，A30,0，A4 2,2，…，
则 A2025的坐标为（　　）
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A．1012,0 B．1014,0 C．-1010,0 D．-1012,0
考点七：平面直角坐标系中图形翻转问题
（例题： 2023 秋·浙江·九年级专题练习）
19．如图所示，长方形 ABCD的两边BC 、CD分别在x 轴、y 轴上，点 C 与原点重合，点
A1,2，将长方形ABCD沿x 轴无滑动向右翻滚，经过一次翻滚，点 A 的对应点记为 A1；
经过第二次翻滚，点A 的对应点记为 A2；……，依次类推，经过第2023 次翻滚，点 A 的对
应点 A2023的坐标为（　　）

A．3032,1 B．3033,0 C．3033,1 D．3035,2
【变式训练】
（2023 秋·全国·八年级专题练习）
20．如图，在平面直角坐标系中，VAOB为等腰直角三角形，Ð=°OAB 90 ，边OA在x 轴正
半轴上，OA = 2，点B 在第一象限内，将VAOB绕点O顺时针旋转，每次旋转45°则第2023
次旋转后，点B 的坐标为（ ）
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A．2 2,0 B．2 2， C．0,2 2 D．2 2，- 
（2023 春·重庆九龙坡·七年级重庆实验外国语学校校考阶段练习）
21．如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，△OPQ是直角三角形，点O 为直角顶
æö3 5
点，已知点Pç÷ ,0 ，Q0,2，PQ = ，将△OPQ按如图方式在x 轴负半轴上向左连续翻
èø2 2
滚，依次得到V1、V2 、V3、△4 …，则V2025的直角顶点的横坐标是（ ）

A．-4044 B．-4050 C．-4054 D．-4056
考点八：平面直角坐标系中新定义型问题
（例题： 2023 秋·湖南常德·八年级统考期末）
22．在平面直角坐标系中，对于点P x y( , )，我们把点P y x¢( 1 1)-++ ， 叫做点P 伴随点．已知
点A1的伴随点为A2，点A2的伴随点为A3，点A3的伴随点为A4 ，…，这样依次得到点 A1，
A2，A3，…， An ，…．若点 A1的坐标为2,4，点A2023的坐标为（ ）
A．-3,3 B．( 2, 2)-- C．(3, 1)- D．2,4
【变式训练】
（2023 春·河南漯河·七年级统考期末）
23．在平面直角坐标系中，对于点P x y( , )，我们把点P y x( 1, 1)--- 叫做点P 的友好点，已
知点 A1的友好点为点A2，点A2的友好点为点A3，点A3的友好点为点A4 ．……以此类推，当
点 A1的坐标为(2,1)时，点A2023的坐标为（ ）
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A．(2,1) B．(0, 3)- C．( 4, 1)-- D．( 2,3)-
（23-24 七年级下·山东滨州·阶段练习）
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24．在平面直角坐标系中，对于点P x y , ，把点P y1ç÷ , 叫做点P 的友好点．已知点 A1