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拉普拉斯变换的基本性质
连续时间LTI系统的稳定性
拉普拉斯逆变换
连续时间LTI系统的复频域分析
连续时间LTI系统
系统方框图和信号流图
拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系
第5章 连续时间LTI系统的复频域分析
拉普拉斯变换
一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换
一个信号f(t)满足狄里赫利条件时，便可构成一对傅里叶变换式，即
当函数 f (t)不满足绝对可积条件时，则其傅里叶变换不一定存在。此时，可采取给f(t)乘以因子e–t(为任意实常数)的办法，这样即得到一个新的时间函数 f (t)e–t，使其满足条件
则函数 f (t)e–t 即满足绝对可积条件了，因而它的傅里叶变换一定存在。可见因子e–t 起着使函数 f (t)收敛的作用办法，故称e–t为收敛因子。
STEP1
STEP2
STEP3
STEP4
它是 +j的函数，可以写为
设函数 f (t)e–t 满足狄里赫利条件且绝对可积(这可通过选取恰当的值来达到)，根据傅里叶变换的定义，则有
F( +j)的傅里叶反变换为
即
拉普拉斯变换
s= +j，s为一复数变量，称为复频率。
01.
以上两式分别称为双边拉普拉斯变换和双边拉普拉斯反变换。
02.
二．拉普拉斯变换的定义
拉普拉斯变换
拉普拉斯变换
正变换
反变换
记作 ， 称为原函数， 称为象函数
采用 系统，相应的单边拉氏变换为
考虑到实际信号都是有起因信号
所以
2
1
3
收敛域：使F(s)存在的s 的区域称为收敛域。
记为：ROC(region of convergence)
实际上就是拉氏变换存在的条件；
三拉氏变换的收敛域
拉普拉斯变换
要使该式成立，必须有a+ > 0， 即 > – a。故其收敛域为 – a以右的开平面， 0= – a。
05
 >0时该式成立， 故其收敛域为s平面的右半开平面， 0= 0。
03
解:
01
 >0时上式成立， 故其收敛域为s平面的右半开平面， 0= 0。
04
要使该式成立，必须有 > – ， 故其收敛域为全s平面， 0= – 。
02
例 信号拉普拉斯变换的收敛域(即收敛坐标0)
01
04
02
03
指数函数
全 s 域平面收敛
阶跃函数
单位冲激信号
四．一些常用函数的拉氏变换
四．一些常用函数的拉氏变换
幂函数 t nu(t)
四．一些常用函数的拉氏变换
5．正余弦信号
收敛域
收敛域