教学课件第二节龙格-库塔方法.ppt

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对差商 应用微分中值定理，有，
利用微分方程 ，有
这里的 称为平均斜率。
第二节 龙格-库塔法
线性组合来构造高阶单步法的平均斜率。
基本思想：利用 在某些特殊点上的函数值的
可将改进的欧拉格式改写成
的算术平均值作为平均斜率。
该公式可以看作是用 和 两个点处的斜率 和
由改进型欧拉公式我们可以猜想，如果在
内多预测几个点的斜率，再对他们进行加权平均，
可能得到精度更好的平均斜率！
下面以2阶龙格-库塔方法为例来阐述这种思想
考察区间 上的一点 ，
用 和 的斜率 和 的加权平均作为平均
斜率 的近似值：
即取
其中 和 是待定常数。若取 ，则
问题在于如何确定 处的斜率 和常数 和 。
仿照改进的欧拉方法，用欧拉方法预测 的值，
并用它来估计斜率 ：
于是得到如下形式的算法：
通过适当选取参数 和 的值，使得公式具有
2阶精度！！
由泰勒公式展开，要使公式具有 2 阶精度，只需
方程组有无穷多解：二级方法有无穷多种
常见的3种二级方法：
 中点法（修正的Euler法）
取
 二阶龙格库塔方法
取
三级方法：N = 3
类似于N = 2的推导方法，可得到
常见的2种三阶方法：
 库塔三阶方法
 四级方法：N = 4
局部截断误差
常见的2种四阶方法：
经典龙格-库塔方法
例2：用经典的龙格-库塔方法
解：
求解下列初值问题 。
经典的四阶龙格-库塔公式：




















同保留5位的精确值完全一致：