数值分析-牛顿法.ppt

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数值分析非线性方程的牛顿法 (Newton Method of Nonlinear Equations )
内容提纲（Outline)
牛顿法及其几何意义
1
收敛性及其收敛速度
2
计算实例及其程序演示
3
/CONTENTS
一、牛顿法及其几何意义
取x0作为初始近似值，将f(x)在x0做Taylor展开:
重复上述过程 
作为第一次近似值
Newton
迭代公式
基本思路：将非线性方程f(x)=0 线性化
牛顿法的几何意义
x
y
x*
x0
x 1
x 2
牛顿法也称为切线法
（局部收敛性定理） 设 f (x)C2[a, b]，若 x* 为 f (x) 在[a, b]上的根,且 f (x*)  0，则存在 x* 的邻域 使得任取初始值 ，Newton 法产生的序列{ xk } 收敛到 x*，且满足
至少平方收敛
二、牛顿法的收敛性与收敛速度
在x*的附近收敛
由Taylor 展开：
令k ，由 f (x*)  0，即可得结论。
证明：Newton法实际上是一种特殊的迭代法
思考题1
若　　　 ，Newton法是否仍收敛？
设 x* 是 f 的 m 重根，则令：
且
Answer1: 有局部收敛性
Answer2: 线性收敛
思考题2
当x* 是 f (x)=0的m重根, 是否平方收敛？
注：Newton法的收敛性依赖于x0 的选取。
x0
01

02
x0
03

04
x0
05

06
x*
有根
根唯一
全局收敛性定理()：设 f (x)C2[a, b]，若
f (a) f (b) < 0；
在整个[a, b]上 f (x)  0；
f (x)在 [a, b]上不变号
选取初始值x0  [a, b] 使得 f (x0) f (x0) > 0；
则由Newton法产生的序列{ xk } 单调地收敛到
f (x)=0 在 [a, b] 的唯一根x*,且收敛速度至少是二阶的
保证产生的序列{xk}单调有界
保证Newton迭代函数将[a,b]映射于自身