数值分析中的(插值法).ppt

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9 评　　述
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第二章 插 值 法
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8 三次样条插值
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2 Lagrange插值
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1 引　　言
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7 分段低次插值
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6 Hermite插值
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5 差分与等距节点插值公式
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4 均差与Newton插值公式
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3 逐次线性插值法(自学)
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上的函数值，即已知函数表
例：设在实际问题中，某些变量之间的函数关系是存在的，但通常不能用式子表示，只能由实验、观测得到
在一系列离散点
第一节 引 言
一、一个实例
那么如何计算 ？
数值分析　第二章　插值法
设 y= f(x) 是区间[a , b] 上的一个实函数, xi ( i=0, 1, ... ,n)是[a,b]上n+1个互异实数,称为节点。已知 y=f(x) 在点xi 的值 yi=f(xi) (i=0,1,...,n), 求一简单函数P(x)，满足
P(xi)=yi (i=0,1, ..., n) ( －1 )
即简单函数P(x)的曲线要经过 上已知的n+1个点
数值分析　第二章　插值法
二、插值问题的一般性提法
Y
同时在其它点 上估计误差为
数值分析　第二章　插值法
X
数值分析　第二章　插值法
01
若p(x)是次数不超过n的代数多项式,即
（－2）
则称p(x)为插值多项式，相应的插值法称为多项式插值。若p(x)为分段多项式，就是分段插值。若p(x)为三角多项式，就是三角插值,还有有理插值等。本章主要讨论多项式插值与分段插值。
02
注：插值法还有其他许多用途，如函数的近似表示；曲线曲面拟合；导出其它数值方法的依据（导出数值积分、数值微分、微分方程数值解）等。
03
若满足条件的 存在，又如何构造？
三、多项式插值问题中需要研究的问题
满足插值条件的多项式 是否存在？唯一？
用 近似代替 的误差估计？
数值分析　第二章　插值法
定理1不仅解决了问题1，其证明过程也给出了问题2——求插值多项式的一种方法。但一般不用这种方法，因为范得蒙矩阵一般是病态的。即使求解过程是精确的，多项式求值的误差也是
可观的。
定理1 设节点xi (i=0,1, … ,n)互异, 则满足插值条件Pn(xi)=yi 的次数不超过n的多项式存在且唯一。
数值分析　第二章　插值法
下面先研究第一个问题
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拉格朗日插值多项式的优缺点
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拉格朗日插值多项式
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数值分析　第二章　插值法
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截断误差
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数值实例
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第二节 拉格朗日插值
数值分析　第二章　插值法
一、拉格朗日插值多项式
其中
(x0,y0),(x1,y1)
且满足：
(x0,y0),(x1,y1)，(x3,y3)
其中：
令
满足：
数值分析　第二章　插值法