数值分析矩阵特征值特征向量计算.ppt

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—— 幂法与反幂法
第八章矩阵特征值计算
数值分析
202X
本章内容
2
正交变换与矩阵分解
特征值基本性质
QR 方法
幂法与反幂法
本讲内容
3
特征值基本性质
01
01
02
03
04
幂法
幂法的加速
反幂法
02
03
04
特征值性质
4
性质
若 A 对称，则存在正交矩阵 Q，使得
特征值与特征向量
A x =  x
(   C, x  0 )
圆盘定理
5
定理：(Gerschgorin 圆盘定理) 设  是 A 的特征值，则
i=1, 2, ... , n
设 A=(aij)Rnn ，记
Gerschgorin 圆盘
若有 m 个圆盘互相连通，且与其它圆盘都不相连，则这 m 个圆盘内恰好包含 m 个特征值。
Rayleigh 商
6
称为矩阵 A 关于 x 的 Rayleigh 商。
则对任意非零向量 x，有
定理：设 A 是 n 阶实对称矩阵，其特征值为
且
幂法
7
(1) 任取一个非零向量 v0，要求满足 (x1,v0)  0
(2) 对 k = 1, 2, ... ，直到收敛，计算
计算矩阵的主特征值（按模最大）及其特征向量
假设：(1) |1| > |2|  …  |n|  0
(2) 对应的 n 个线性无关特征向量为：x1, x2, ..., xn
计算过程：
幂法（乘幂法，幂迭代）
幂法的收敛性
8
设
越小，收敛越快
收敛性分析
幂法的收敛性
9
vk 为 1 的近似特征向量
又
当 k 充分大时，有
( j =1, 2, ... , n )
幂法的收敛性
10
注：幂法的收敛速度取决于 的大小
1
则由幂法生成的向量满足
定理：设 A 有 n 个线性无关的特征向量，其特征值满足
2