数值分析课件-第三章解线性方程组的迭代法.ppt

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迭代法的基本思想是，把n元线性方程组
（）
或
Ax=b
改写成等价的方程组
，或x=Mx+g
迭代法是从某一取定的初始向量x(0)出发,按照一个适当的迭代公式 ,逐次计算出向量x(1), x(2),…,使得向量序列{x(k)},算法简便,程序易于实现.
课件
由此建立方程组的迭代公式
x(k+1)=Mx(k)+g , k=0,1,2,… ()
其中M称为迭代矩阵。
x*=Mx*+g
从而x*是方程组x=Mx+g的解,也就是方程组Ax=b的解.
1 Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法
Jacobi方法是由方程组()中第k个方程解出x(k),得到等价方程组:
从而得迭代公式
3
课件
J法也记为
4
式()称为Jacobi迭代法,简称为J迭代法.
可见 ,J迭代法的迭代矩阵为
,则J迭代法可写成
x(k+1)=Bx(k)+g k=0,1,2,…
若记
课件
若在J迭代法中,充分利用新值, 则可以得到如下的迭代公式
G-S迭代法也可记为
01
式()称为Gauss-Seidel迭代法,简称为G-S迭代法.
02
例1 用J法和G-S法求解线性方程组
01
02
03
04
方程组的精确解为x*=(1,1,1)T.
解 J迭代法计算公式为
取初始向量x(0)=(0,0,0)T,迭代可得
计算结果列表如下:
7
可见,迭代序列逐次收敛于方程组的解, 而切迭代7次得到精确到小数点后两位的近似解.
k
x1(k)
x2(k)
x3(k)
‖x(k)-x*‖
0
1
2
3
4
5
6
7
0







0







0







1







G-S迭代法的计算公式为:
课件
8
同样取初始向量x(0)=(0,0,0)T, 计算结果为
由计算结果可见,G-,G-S迭代法只需迭代3次,而J迭代法需要迭代7次.
k
x1(k)
x2(k)
x3(k)
‖x(k)-x*‖
0
1
2
3
0



0



0



1



课件
为了进一步研究,从矩阵角度来讨论上述迭代法.
D=diag(a11,a22,…,ann)
对线性方程组Ax=b,记
等价于
Dx=(L+U)x+b 或 x=D-1(L+U)x+D-1b
则有 A=D-L-U
于是线性方程组 Ax=b 可写成
(D-L-U)x=b
其中
x(k+1)=D-1(L+U)x(k)+D-1b k=0,1,2,…
由此建立J迭代法迭代公式
x(k+1)=Bx(k)+g k=0,1,2,…
或写成
x(k+1)=D-1Lx(k+1)+D-1Ux(k)+D-1b
G-S迭代法迭代公式可写成
03
02
01