数值计算第二章.ppt

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1．根的存在性。方程有没有根？如果有根，有几个根？
定理1：设函数 f (x) 在区间[a, b]上连续，如果f (a)  f (b) < 0，
则方程 f (x) = 0 在[a, b]内至少有一实根x*。
2．这些根大致在哪里？如何把根隔离开来？
3．根的精确化
a
b
x*
f(x)
1．画出 f(x) 的略图，从而看出曲线与x 轴交点的位置。
2．从左端点x = a出发，按某个预先选定的步长h
一步一步地向右跨，每跨一步都检验每步起点x0
和终点x0 + h的函数值，若
那么所求的根x*必在x0与x0+h之间，这里可取x0或x0+h
作为根的初始近似。
开 始
读入a, h
a  x0
f (x0)  y0
x0 + h x0
f (x0)  y0>0
打 印
结 束
否
是
继续扫描
例1：考察方程
x
0



f (x) 的符号
－
－
－
＋
§1 二 分 法
a
b
x1
x2
a
b
或
不能保证 x 的精度
x*
2
x
x*
执行步骤
1．计算f (x)在有解区间[a, b]端点处的值，f (a)，f (b)。
2．计算f (x)在区间中点处的值f (x1)。
3．判断若f (x1) = 0，则x1即是根，否则检验：
（1）若f (x1)与f (a)异号，则知解位于区间[a, x1]，
b1=x1, a1=a;
（2）若f (x1)与f (a)同号，则知解位于区间[x1, b]，
a1=x1, b1=b。
反复执行步骤2、3，便可得到一系列有根区间：
(a, b), (a1, b1), …, (ak, bk), …
4、当
时
5、则
即为根的近似
①简单;
② 对f (x) 要求不高(只要连续即可) .
①无法求复根及偶重根
② 收敛慢
定义f (x)
f (a) f (b)>0
f (a) f (b)=0
f (a) =0
打印b, k
打印a, k
结束
是
是
是
否
否
否
m=(a+b)/2
|a-b|<
f(a)f(b)>0
打印m, k
a=m
b=m
结束
k=K+1
是
是
否
否
输入
k = 0
例2： 求方程
k
ak
bk
xk
f (xk)的符号
0
1


-
1



+
2



-
3



+
4



+
5



-
6



-
2 迭 代 法
1．简单迭代法
x1 =
x2 =
…
x6 =
x7 =
2．迭代过程的收敛性
f (x) = 0
x = g (x)
等价变换
例3：求方程
的一个根
迭代格式