数学建模之随机性模型与模拟方法.ppt

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演讲人姓名
随机变量
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蒙特卡罗方法
添加标题
随机数的生成
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模拟
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目录
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何谓随机变量？随机变量是一个其值不可预测的变量。虽然一个随机变量在个别试验中其结果不确定，但在大量重复试验中其结果是具有统计规律的。正是随机变量的这种规律性使我们可以利用它来建模。例如我们可以利用下述的数据：
时间t（秒） 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
得出一个模型。
变量X 1 0 2 2 1 2 0 1 0 2
一、随机变量
是一个离散的随机变量并取值于 0，1和2。我们不可能给出 与 的确定的关系式，但是可以通过数 的不同值出现次数来描述这随机型 的规律列表如下：
这个表给出了随机变量 的变化规律，频率告诉某个特定的事件发生的频繁程度。如果我们需要构造一个含有随机变量的模型，可以假设这个规律总是成立的，模型的假设可以基于这几个数据之上。实际操作时可以把频率分布当作概率函数来处理，但应注意概率是频率的极限值，这两者是有差异的。在处理一个简单的理论模型时，对概率函数
0 1 2
频数 3 3 4
频率
必须作出合适的选择。例如，假设在上述问题中的随机变量取三个值时等于可能的，这样其概率函数为
这个例子说明在处理随机变量的模型时有以下两种选择：
（1）使用一个理论模型。这在任何一本概率统计的书上都可以找到一些标准的理论模型如二项分布等。每一个都基于一定的假设之下成立的，所以在选用时要特别注意其假设条件。
（2）使用基于实际数据的频率表，并不去套用不准理论模型。
0 1 2
使用前者的好处在于能精确地叙述变量的概率，在处理问题时可以充分发挥数理统计的作用。但这一好处把所求模式制约在了处理简单情形。随着复杂性的增加，数学就变的太难。使用后者的好处在于模型时基于观测到的数据而不是基于假设之上。增加复杂性并不成为一大障碍，但我们不再能利用数理统计而得求助于模拟以及模型的统计结果。
在建立随机性模型时，首先要注意，将要处理的是离散还是连续的随机变量。
1、离散随机变量
离散随机变量的理论模型是由概率函数
来刻画的。这个式子说明随机变量 取值 时的概
率。对于离散型的随机变量有下面三种重要的分布
（0－1）分布 设随机变量 只可能取0、1两个值，它的分布规律是
01
则称 服从（0－1）分布。对于一个随机实验，如果它的样本空间只包含两个元素，即 ，我们总能在 上定义一个服从（0－1）分布的随机变量
02
来描述这个随机实验的结果。例如，对新生儿的性别进行登记，检查产品的质量是否合格等都可以用（0－1）分布的随机变量来描述。
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二项分布 设实验 只有两个可能的结果，将 独立地重复地进行 次，则称这一串重复的独立实验为 重贝努利实验。它是一重和重要的数学模型，有着广泛的应用。若用 表示 重贝努利实验中事件 发生的次数， 是一个随机变量，它服从如下的二项分布
01
特别，当 时二项分布就是（0－1）分布。
02
泊松分布 设随机变量 所有可能的取值为 而取各个值的概率为
其中， 是常数，则称 服从参数为 的泊松分布。可以证明当 很小时，以 为参数的二项分布，当 时趋于以 为参数的泊松分布，其中
理论模型的连续型随机变量可以由概率密度函数
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来描述，对所有的 存在
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，且 ，随机变量落在区间
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的概率可由 来给出，在连续型随机变
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量中下述两种是重要的 。
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2、连续的随机变量