数学最小二乘法的应用举例.ppt

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问题的提出:
已知一组实验数据
求它们的近似函数关系 y＝f (x) .
需要解决两个问题:
1. 确定近似函数的类型
根据数据点的分布规律
根据问题的实际背景
2. 确定近似函数的标准
实验数据有误差,
不能要求
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第八章
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最小二乘法
有正有负,
值都较小且便于计算,
可由偏差平方和最小
来确定近似函数 f (x) .
最小二乘法原理:
设有一列实验数据
分布在某条曲线上,
通过偏差平方和最小求该曲线的方
法称为最小二乘法,
找出的函数关系称为经验公式 .
, 它们大体
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偏差
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为使所有偏差的绝对
令
满足:
使
得
解此线性方程组
即得 a, b
称为法方程组
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特别, 当数据点分布近似一条直线时,
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问题为确定 a, b
例1.
为了测定刀具的磨损速度, 每隔 1 小时测一次刀
具的厚度, 得实验数据如下:
找出一个能使上述数据大体适合的经验公式.
解: 通过在坐标纸上描点可看出它们
大致在一条直线上,
列表计算:
故可设经验公式为
(P67 例1)

0 1 2 3 4 5 6 7
0 1 2 3 4 5 6 7
得法方程组
解得
故所求经验公式为
0 0 0
7 49
28 140
为衡量上述经验公式的优劣,
计算各点偏差如下:
称为均方误差,
对本题均方误差
它在一定程度上反映了经验函数的好坏.
偏差平方和为

0 1 2 3 4 5 6 7


－ － －
－ －
称为均方误差,
对本题均方误差
它在一定程度上反映了经验函数的好坏.
偏差平方和为

0 1 2 3 4 5 6 7


－ － －
－ －
例2. 在研究某单分子化学反应速度时, 得到下列数据:

3 6 9 12 15 18 21 24
1 2 3 4 5 6 7 8
其中 表示从实验开始算起的时间,
y 表示时刻  反应
物的量.
试根据上述数据定出经验公式
(P70例2)
解:
由化学反应速度的理论知, 经验公式应取
其中k , m 为待定常数.
对其取对数得
(线性函数)
(书中取的是常用对数)
因此 a , b 应满足法方程组:
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其均方误差为
解得:
经计算得
所求经验公式为
通过计算确定某些经验公式类型的方法:
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01
观测数据:
02
用最小二乘法确定a, b