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数学期望(均值) 的定义
直观理解，数学期望就是一个随机变量所有可能
取值的加权平均值，权就是这些可能值相应的概率。
例如，
假定发生意外的概率是 ，则在购买保险的 15,000 人中，平均起来有多少个人需要赔偿？
统计资料表明强烈地震的间隔服从参数 430 (天)的指数分布，则平均多长时间发生一次强震？
离散随机变量的数学期望
如果 X 的分布律 P { X = xk } = pk ,k ≥ 1 满足：
∑k ≥ 1 | xk pk | ＜ + ∞
则定义离散随机变量 X 的数学期望是
E X = ∑k ≥ 1 xk pk
连续随机变量的数学期望
如果 X 的密度函数 p (x) 满足：
则定义连续随机变量 X 的数学期望是
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一位著名的射击教练将从两个候选人中挑选
一人作为他的队员，甲还是乙的成绩更好？
成绩(环数) 8 9 10
甲的概率
乙的概率
解. 以 X、Y 分别表示甲、乙射击一次的结果，
显然 X 的数学期望(甲射击一次的平均成绩)是
E X = 8× + 9× + 10× = (环)，
同理，乙射击一次的平均成绩是
E Y = 8× + 9× + 10× = (环)。
□
解. 以 X 记这个项目
的投资利润。
平均利润为：
E X = 5× + 0× + (– 10)× = ，
而同期银行的利息是 10× = ，
因此从期望收益的角度应该投资这个项目。
□
利润 5 0 – 10
概率
假设某人有 10 万元，如果投资于一项目将有
30%的可能获利 5 万，60% 的可能不赔不赚，但有
10%的可能损失全部 10 万元；同期银行的利率为
2% ，问他应该如何决策？
01
在古典概率模型中设计了如下一个赌局：
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每个人从有 3 张假币的 10 张 100 元纸币中随机地
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抽出 4 张 。如果全是真的，则赢得这 400元；如果这
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张中至少有一张假币，只输 100 元。
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问这种规则是否公平，或者说你是否愿意参加？
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解. 分析，
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公平合理的规则必须是双方的平均获利都等于 0
08
以 X 记每局赌博中庄家的获利 (可以为负) ，则
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X 所有可能的取值是 – 400 与 100 。
显然 X 的分布律为：
xk – 400 100
pk — —
因此，X 的数学期望，即庄家在每局赌博中
的平均获利为：
E X = (– —— ) + ( —— ) = — 。
这种赌博对庄家有利，平均一局他将净赚 元
□
1 5
6 6
400 500 50
6 6 3
思考2
如果一天有 12 个人参加这种赌博，庄家的平均获利又是多少？
中假定乘客在公交车站等车的
时间 X ( 分钟) 服从参数 5 的指数分布，
p (x) = e – x ， x ＞ 0
问这个人的平均等车时间是几分钟？
解. 平均等车时间即是数学期望 E X ，因此
即平均需要等待 5 分钟。
1
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3
4

即，设 a、b 是两个常数，则有：
E ( a + bX ) = a + b E (X) ；

01
对任意的 n 个随机变量 X1、X2、…、Xn，都有：
E (X1 + X2 + … + Xn ) = E X1 + E X2 + … + E Xn

02
随机变量函数的期望公式
如果 X1、X2、…、Xn 相互独立，则有：
E (X1×X2×…×Xn) = E (X1)×E (X2) ×…×E (Xn)
如果离散随机变量 X 具有分布律：
P { X = xk } = pk ,k ≥ 1 ，
则随机变量 Y = g(X) 的数学期望是：
E Y = E [ g(X)] = ∑k ≥ 1 [ g(xk) pk ]
独立随机变量乘积的期望等于期望的乘积
则随机变量 Y = g(X) 的数学期望是：
E Y = E [ g(X)] =
(2) 如果连续随机变量 X 具有密度函数 p(x) ，
01
联合密度函数 p(x1,x2,…,xn) ，则随机变量
Y = g(X1,X2,…,Xn) 的数学期望是
E Y = E [ g(X1,X2,…,Xn)]
(3) 如果连续随机向量 (X1，X2，…，Xn) 具有
02